Comment faites-vous pour justifier que $0$ est la limite de $\frac{\ln x}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

Le fil d’Ariane de la démonstration

Partez du fait que la fonction logarithme népérien est entièrement définie par l’intégrale : $\ln x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}.$
Ensuite, vous souhaitez majorer cette expression. Pas le choix, vous partez sur une majoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}.$
Prenez les fonctions de référence polynômiales connues sur l’intervalle $[1,+\infty[.$
$\forall t\in [1,+\infty[, t^2\geq t> 0$ donc $\forall t\in [1,+\infty[, 0< \dfrac{1}{t^2}\leq \dfrac{1}{t}.$
Mince, on a une minoration de la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{t}$ mais pas une majoration… à moins que… l’on utilise la racine carrée, ce qui fournit $\forall t\in [1,+\infty[, 0 < \dfrac{1}{t}\leq \dfrac{1}{\sqrt{t}}.$

Et la démonstration

Pour tout x supérieur ou égal à $1$ :

\begin{aligned}
\ln x &\leq \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}\\
&\leq  \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}\\
&\leq  2\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{2\sqrt{t}}\\
&\leq  2 (\sqrt{x}-1)\\
0\leq \frac{\ln x}{x}&\leq \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}.
\end{aligned}

Par application du théorème des gendarmes, il s’ensuit que :
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0.$

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