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022. Étudiez une croissance comparée avec le logarithme

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Le but de ce contenu est de produire une justification du fait que, quand $x$ tend vers $+\infty\comma$ le quotient $\frac{\ln x}{x}$ tend vers $0.$

Utilisez une intégrale

Partez du fait que la fonction logarithme népérien est entièrement définie par l’intégrale suivante :

\forall x>0,\ \ln x = \int_1^x \frac{\dt}{t}.

Fixez un réel $x$ strictement positif. Pour majorer $\ln x\comma$ vous allez majorer la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ pour tout réel $t$ compris entre $1$ et $x.$

Prenez les fonctions de référence polynômiales connues sur l’intervalle $[1,+\infty[.$ Pour tout $t\geq 1\comma$ vous avez $t^2\geq t \gt 0.$

Vous déduisez que pour tout réel $\forall t\in [1,+\infty[, 0\lt \frac{1}{t^2}\leq \frac{1}{t}.$ Vous avez obtenu une minoration de la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}\comma$ au lieu d’une majoration.

Utilisez alors la fonction racine carrée. Pour tout $t\geq 1\comma$ vous avez $t\geq \sqrt{t} \gt 0.$ Ainsi vous obtenez : $\forall t\in [1,+\infty[, 0 \lt \frac{1}{t}\leq \frac{1}{\sqrt{t}}.$

Formez une majoration explicite

Pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $1\comma$ vous avez successivement :

\begin{align*} \ln x &\leq \int_1^x \frac{\dt}{\sqrt{t}}\\ &\leq 2\int_1^x \frac{\dt}{2\sqrt{t}}\\ &\leq 2 (\sqrt{x}-1)\\ &\leq 2\sqrt{x}. \end{align*}

Soit $x$ un réel supérieur ou égal à $1.$ En divisant par $x\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \frac{\ln x}{x} &\leq \frac{2\sqrt{x}}{x}\\ &\leq \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}\\ &\leq \frac{2}{\sqrt{x}} \end{align*}

Comme $x\geq 1\comma$ vous avez $\ln x\geq 0$ et donc $0\leq \frac{\ln x}{x}.$

Pour tout $x\geq 1\comma$ l’encadrement suivant est vérifié :

0\leq \frac{\ln x}{x}\leq \frac{2}{\sqrt{x}}.

Or, $\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0.$ Vous appliquez le théorème des gendarmes et aboutissez à la conclusion annoncée :

\boxed{\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0.}