$x^3+ax^2+8x+5$ est un multiple de $x+1$ pour tout entier $x$. Trouvez l’entier $a.$
Ceci constitue un problème d’arithmétique portant sur les polynômes.
Utilisez le changement de variable $y=x+1.$
\begin{aligned}
x^3+ax^2+8x+5 &= (y-1)^3+a(y-1)^2+8(y-1)+5 \\
&= y^3-3y^2+3y-1+a(y^2-2y+1)+8y-3\\
&=y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a.
\end{aligned}
D’après l’énoncé, pour tout $y\in\Z$, $y$ divise $y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a$ et donc $y$ divise $a-4$.
Il s’ensuit que $a=4.$
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !