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023. $x^3+ax^2+8x+5$ est un multiple de $x+1$ pour tout entier $x$. Trouvez l’entier $a.$

Ceci constitue un problème d’arithmétique portant sur les polynômes.

Utilisez le changement de variable $y=x+1.$

$\begin{align*}
x^3+ax^2+8x+5 &= (y-1)^3+a(y-1)^2+8(y-1)+5 \\
&= y^3-3y^2+3y-1+a(y^2-2y+1)+8y-3\\
&=y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a.
\end{align*}$

D’après l’énoncé, pour tout $y\in\Z$, $y$ divise $y^3+y^2(a-3)+y(-2a+11)-4+a$ et donc $y$ divise $a-4$.

Il s’ensuit que $a=4.$

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