Soit $a$ un nombre réel et $P$ le polynôme réel défini par $P(X)=X^3+aX^2+8X+5.$ La valeur de $a$ n’est pas connue pour l’instant, mais il est supposé que $P$ est un multiple de $X+1.$ Il s’agit de retrouver la valeur de $a.$
Traduisez l’hypothèse de départ
Il existe un polynôme réel $Q$ tel que $P(X)=(X+1)Q(X).$
Il s’ensuit qu’en remplaçant $X$ par $-1\comma$ vous obtenez : $P(-1)=0.$
Concluez
Or la valeur de $P(-1)$ se calcule avec l’expression du polynôme $P$ donnée plus haut :
\begin{align*}
P(-1) &= (-1)^3 + a(-1)^2 + 8(-1)+5\\
&= -1 +a -8+5\\
&=-9+a+5\\
&=a-4.
\end{align*}
Ainsi $a-4 = 0$ et $a=4.$