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027. Découvrez un classique tiré du test de positionnement en Seconde

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Il est demandé à l’élève de trouver le développement de $(a-2b)^2$ parmi les réponses suivantes :

\begin{align*} \text{A. }&\ a^2-4ab+2b^2 \\ \text{B. }&\ a^2-4b^2 \\ \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2 \\ \text{D. }&\ a^2-4ab-4b^2 \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2. \end{align*}

Utilisez une stratégie efficace

Éliminez les mauvaises réponses le plus rapidement possible, plutôt que de calculer littéralement, en prenant le risque de trouver un résultat qui n’est pas proposé dans les réponses.

Vous pouvez trouver la bonne réponse sans faire appel aux identités remarquables.

Ramenez-vous à une situation particulière

L’identité proposée doit être valable quelles que soient les valeurs des réels $a$ et $b.$

Choisissez $a=0\comma$ les réponses deviennent :

\begin{align*} \text{A. }&\ 2b^2 \\ \text{B. }&\ -4b^2 \\ \text{C. }&\ 4b^2 \\ \text{D. }&\ -4b^2 \\ \text{E. }&\ 4b^2. \end{align*}

Maintenant, choisissez $b=1\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \text{A. }&\ 2 \\ \text{B. }&\ -4 \\ \text{C. }&\ 4 \\ \text{D. }&\ -4 \\ \text{E. }&\ 4. \end{align*}

Les réponses B et D sont éliminées dans la mesure où l’expression de départ est un carré qui est rester positif ou nul.

Recalculez avec l’expression de départ en remplaçant $a$ par $0$ et $b$ par $1.$ Vous obtenez $(a-2b)^2=(0-2)^2 =(-2)^2= 4.$ Vous éliminez la réponse A.

Effectuez le choix final

Pour développer $(a-2b)^2\comma$ il reste deux possibilités :

\begin{align*} \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2 \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2. \end{align*}

Seuls les termes $-2ab$ et $-4ab$ diffèrent. Choisissez alors $a=1$ et $b=1.$ Les réponses deviennent :

\begin{align*} \text{C. }&\ 1-4+4 = 1\\ \text{E. }&\ 1-2+4 = 3. \end{align*}

Vous calculez directement l’expression de départ. $(a-2b)^2=(1-2)^2=(-1)^2=1\comma$ ce qui permet d’éliminer la réponse E.

Concluez

Par élimination, vous avez trouvé que :

(a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2.