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027. Tiré de 2018, test de positionnement en Seconde : quel est le développement de $(a-2b)^2$ ?

Voyez les propositions de réponse, trouvez la seule qui est exacte.

Stratégies à privilégier

Quand il s’agit de trouver la bonne réponse, la stratégie la plus efficace consiste à éliminer les mauvaises réponses, plutôt que de calculer, trouver un résultat qui n’est pas proposé dans les réponses, paniquer, recommencer un développement, pour finalement se perdre en cherchant la bonne réponse.
On peut répondre à la question sans connaître la moindre identité remarquable, et sans utiliser le calcul algébrique, en faisant appel au bon sens.

Observation

Toutes les réponses paraissent compliquées. Comment les simplifier ? C’est cela le “bon sens” !
Passez en revue les 5 propositions de réponses.
$$\begin{align*} \text{A. }&\  a^2-4ab+2b^2  \\ \text{B. }&\ a^2-4b^2  \\   \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2  \\ \text{D. }&\ a^2-4ab-4b^2  \\ \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{align*}$$
Choisissez $$a=0.$$
Vous obtienez de grandes simplifications :
$$\begin{align*} \text{A. }&\  2b^2 \\ \text{B. }&\ -4b^2 \\   \text{C. }&\  4b^2 \\ \text{D. }&\ -4b^2 \\ \text{E. }&\  4b^2.\end{align*}$$
Eliminez B et D car ce sont des réponses conduisant à des nombres négatifs, or l’expression de départ, qui est un carré, ne peut pas être négative. Vous tombez sur des choix restreints :
$$\begin{align*} \text{A. }&\  2b^2 \\    \text{C. }&\  4b^2  \\ \text{E. }&\  4b^2.\end{align*}$$
Prenez $$b=1,$$ cela conduit à :
$$\begin{align*} \text{A. }&\  2 \\    \text{C. }&\  4  \\ \text{E. }&\  4.\end{align*}$$
Recalculez avec l’expression de départ en remplaçant a par 0 et b par 1.
$$(a-2b)^2=(0-2)^2 = 4$$
Vous éliminez la réponse A qui ne correspond pas.

Choix final

De part l’étude précédente, pour développer $$(a-2b)^2$$ il reste deux possibilités :
$$\begin{align*}    \text{C. }&\ a^2-4ab+4b^2  \\  \text{E. }&\ a^2-2ab+4b^2.\end{align*}$$
Tout correspond sauf les termes du milieu.
Choisissez $$a=1$$ et $$b=1.$$
$$\begin{align*}    \text{C. }&\ 1-4+4 = 1  \\  \text{E. }&\ 1-2+4 = 3.\end{align*}$$
Les réponses étant différentes, en calculant $$(a-2b)^2$$ avec $$a=1$$ et $$b=1$$ vous aurez la réponse.
$$(a-2b)^2=(1-2)^2=(-1)^2=1.$$
La réponse E est éliminée.

Conclusion

Par élimination, vous répondez : $$(a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2.$$

Comment on été construites les mauvaises réponses par le ministère

L’accent est mis sur les capacités de l’élève à utiliser le calcul algébrique.

On attend de l’élève qu’il utilise la double distributivité pour développer le carré d’une différence, éventuellement à l’aide d’une identité remarquable.

Les erreurs peuvent venir de :
$$a^2-4ab+2b^2$$
L’élève développe correctement mais confond $$(2b)^2$$ avec $$2b^2.$$
$$a^2-4b^2$$
L’élève applique une fausse distributivité de la puissance sur les deux termes.
$$a^2-4ab-4b^2$$
L’élève développe correctement mais fait une erreur de signe sur le dernier terme.
$$a^2-2ab+4b^2$$
L’élève ne tient pas compte du double produit dans l’utilisation de l’identité remarquable.

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