031. Trouvez le plus grand des deux nombres parmi $1000^{1002}$ et $1002^{1000}.$

Le logarithme décimal est noté \(\log\), il vérifie \(\log 10 = 1\), \(\log 100 = 2\) et \(\log 1000 = 3\).

\(\log(1000^{1002}) = 1002\log(1000)=1002 \times 3 = 3006.\)
\(\log(1002^{1000}) = 1000\log(1002) \).
Il vous reste à évaluer le logarithme de 1002. Le faire à la main n’est pas simple du tout…
Pour évaluer \(\log(1002) \), vous pouvez le faire à la calculatrice, mais ce n’est pas très élégant… variez et utilisez une table de logarithmes en apprenant à la lire. Ici un extrait de celle construite en 1891, qui contient tous les logarithmes des entiers allant de 1 à 120 000 !
La précision de cette époque est étonnante, on a des logarithmes à 8 décimales, félicitations pour ceux qui ont effectué ce travail sans avoir tous les outils d’aujourd’hui.
Lecture faite, constatez que $\log 1002 \approx 3,00086772$ ce qui est amplement suffisant pour conclure.

$\begin{align*}
\log(1002^{1000}) &\leq 1000\times 3,0009 \\
&\leq 3000,9\\ &< 3006 \\&\leq \log(1000^{1002}).\end{align*}$
On en déduit \(1002^{1000} < 1000^{1002}.\)

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