Il s’agit de trouver lequel des deux nombres est le plus grand parmi $1000^{1002}$ et $1002^{1000}.$

Utilisez le logarithme décimal

Le logarithme décimal est noté $\log$, il vérifie $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$ et $\log 1000 = 3.$ La propriété se généralise. Ainsi :

Ensuite, il reste à évaluer $\log(1002^{1000}) = 1000\log(1002)\comma$ ce qui revient à déterminer une valeur suffisamment précise de $\log 1002.$

Le faire à la main est tout à fait possible.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 032.

Cela a été déterminé de façon assez exhaustive, dès 1891. En ce temps-là, il existait une table de logarithmes décimaux, pour tous les entiers allant de $1$ à $120000\comma$ avec $8$ décimales.

Après calculs ou lecture faite, vous avez l’encadrement suivant :

Ainsi, après multiplication par $1000\comma$ il vient $1000 \log 1002 \leq 3000,9.$ D’où $1000 \log 1002 \lt 3006.$ Or, $3006 = 1002 \log 1000\comma$ ce qui donne :

Il en résulte, par stricte croissance du logarithme décimal sur l’intervalle $]0,+\infty[\comma$ que $\boxed{1002^{1000} < 1000^{1002}.}$