032. Calculez les décimales d’un logarithme chiffre après chiffre

Cet article explique comment il est possible de calculer les chiffres après la virgule d’un logarithme décimal.

Cela s’avère utile pour résoudre un problème soulevé dans un article précédent.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 031.

Vous allez vous attacher à montrer que $\log 1002 = 3,0008\dots$

Historiquement

Au XIXème siècle, des tables de logarithmes avaient été créées avec une grande précision.

Trouvez le début

Partez du fait que les logarithmes décimaux sont connus pour les puissances de $10.$ Vous avez $\log 10 = 1\comma$ $\log 100 = 2\comma$ $\log 1000 = 3\comma$ $\log 10\ 000= 4.$

Puisque $1000 \lt 1002 \lt 10\ 000$ vous avez $3 \lt \log 1002 \lt 4.$ Vous déduisez que $\log 1002 = 3,\dots$

Notez $a$, $b$, $c$ et $d$ les quatre premiers chiffres après la virgule. Vous avez $\log 1002 = 3,abcd\dots$

Trouvez les trois premiers

Trouvez le chiffre $a$

Vous souhaitez faire apparaître le chiffre $a$ à gauche de la virgule, mais tout seul. Vous retranchez $3$ d’abord. Vous avez $\log 1002-3 = 0,a\dots$

Vous utilisez le fait que $\log 1000 = 3$ ce qui donne $\log 1002-\log 1000 = 0,a\dots$ soit $\log 1,002 = 0,a\dots$

Pour déterminer le chiffre $a\comma$ vous multipliez par $10.$ Cela fournit : $10 \log 1,002 = a,\dots$ Ainsi, $\log (1,002^{10}) = a,\dots$

Vous effectuez une majoration de $1,002^{10}$ comme suit :

\begin{align*} 1,002^2 &\leq 1,004004 \lt 1,1 \\ 1,002^4 &\lt 1,1^2 \leq 1,21 \\ 1,002^8 &\lt 1,21^2 \leq 1,4641\lt 1,47\\ 1,002^{10} &\lt 1,47\times 1,1 \leq 1,617 \lt 10. \end{align*}

Ainsi, comme $1,002 \gt 1$ vous obtenez les encadrements :

\begin{align*} 1 \lt 1,002^{10} \lt 10\\ 0 \lt \log(1,002^{10}) \lt 1. \end{align*}

Du coup, $a=0.$

Trouvez le chiffre $b$

$\log 1002 = 3,0bcd\dots$ puis $\log 1002 -\log 1000= 0,0bcd\dots$ soit $\log 1,002 = 0,0bcd\dots$ d’où $\log (1,002^{100}) = b,cd\dots$

Vous effectuez les majorations suivantes :

\begin{align*} 1,002^2 &\leq 1,004004 \lt 1,01 \\ 1,002^4 &\lt 1,01^2 \lt 1,03 \\ 1,002^8 &\lt 1,03^2 \lt 1,07\\ 1,002^{16} &\lt 1,07^2 \lt 1,15\\ 1,002^{32} &\lt 1,15^2 \lt 1,33\\ 1,002^{64} &\lt 1,33^2 \lt 1,77 \\ 1,002^{100} &\lt 1,77\times 1,33 \times 1,03 \lt 2,43 \lt 10. \end{align*}

La dernière majoration provient de l’égalité $100 = 64+32+4.$

Ainsi, $b=0.$

Trouvez le chiffre $c$

$\log 1002 = 3,00cd\dots$ puis $\log 1,002 = 0,00cd\dots$ d’où $\log (1,002^{1000}) = c,d\dots$

Vous effectuez les majorations préliminaires suivantes :

\begin{align*} 1,002^2 &\leq 1,004004 \lt 1,0041 \\ 1,002^4 &\lt 1,0041^2 \lt 1,0083 \\ 1,002^8 &\lt 1,0083^2 \lt 1,0167\\ 1,002^{16} &\lt 1,0167^2 \lt 1,0337\\ 1,002^{32} &\lt 1,0337^2 \lt 1,0686\\ 1,002^{64} &\lt 1,0686^2 \lt 1,1420 \\ 1,002^{128} &\lt 1,1420^2 \lt 1,3042\\ 1,002^{256} &\lt 1,3042^2 \lt 1,7010\\ 1,002^{512} & \lt 1,7010^2 \lt 2,8935. \end{align*}

Pour majorer $1,002^{1000}\comma$ vous utilisez le fait que :

1000 = 512+256+128+64+32+8.

D’une part :

\begin{align*} 2,8935\times 1,7010 \times 1,3042 \lt 6,42. \end{align*}

D’autre part :

1,1420\times 1,0686\times 1,0167 \lt 1,25.

Ainsi, vous avez :

\begin{align*} 1,002^{1000} &\lt 6,42 \times 1,25\\ &\lt 8,03\\ &\lt 10. \end{align*}

Du coup, il vient $c = 0.$

Trouvez le chiffre $d$

$\log 1002 = 3,000d\dots$ puis $\log 1,002 = 0,000d\dots$ d’où $\log (1,002^{10000}) = d,\dots$

Vous encadrez $1,002^{10\ 000}.$ Cette tâche requiert plus de temps et de calcul.

Décomposez $10\ 000$ sur des puissances de $2$

Après $512\comma$ les puissances de $2$ sont : $1024\comma$ $2048\comma$ $4096\comma$ et $8192.$

Vous obtenez :

10\ 000 = 8192+1024+512+256+16.

Effectuez des encadrements en conservant $6$ décimales

Vous partez de l’égalité $1,002^2 =1,004\ 004.$ Vous élevez au carré successivement.

\begin{align*} 1,008\ 024&\lt 1,002^4 \lt 1,008\ 025 \\ 1,016\ 112&\lt 1,002^8 \lt 1,016\ 115 \\ 1,032\ 483&\lt 1,002^{16} \lt 1,032\ 490 \\ 1,066\ 021&\lt 1,002^{32} \lt 1,066\ 036 \\ 1,136\ 400&\lt 1,002^{64} \lt 1,136\ 433 \\ 1,291\ 404&\lt 1,002^{128}\lt 1,291\ 481\\ 1,667\ 724&\lt 1,002^{256}\lt 1,667\ 924\\ 2,781\ 303&\lt 1,002^{512}\lt 2,781\ 971\\ 7,735\ 646&\lt 1,002^{1024}\lt 7,739\ 363\\ 59,840\ 219&\lt 1,002^{2048}\lt 59,897\ 740\\ 3580,851\ 809&\lt 1,002^{4096}\lt 3587,739\ 258\\ 12822499,678\ 018&\lt 1,002^{8192}\lt 12871872,983\ 395. \end{align*}

D’une part :

\begin{align*} &99190318,344261\lt 12822499,678\ 018 \times 7,735\ 646 \\ &4,789\ 116 \lt 2,781\ 303\times 1,667\ 724\times 1,032\ 483\\ &475\ 033\ 940,627594 \lt 99190318,344261 \times 4,789\ 116\\ &100\ 000\ 000\lt 1,002^{10\ 000}. \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} &12\ 871\ 872,983\ 395 \times 7,739\ 363 \lt 99\ 620\ 097,508\ 387\\ &2,781\ 971 \times 1,667\ 924 \times 1,032\ 490 \lt 4,790\ 874\\ & 99\ 620\ 097,508\ 387 \times 4,790\ 874 \lt 477\ 267\ 335,030\ 397\\ &1,002^{10\ 000}\lt 1\ 000\ 000 \ 000. \end{align*}

Vous déduisez que : $8 \lt \log (1,002^{10\ 000}) \lt 9\comma$ donc $d=8.$

Concluez

Vous avez obtenu l’encadrement au dix-millième suivant :

\boxed{3,0008 \lt \log 1002 \lt 3,0009.}