032. Calculez les décimales d’un logarithme chiffre après chiffre

Vous voulez savoir pourquoi \(\log 1002 = 3,00086772…\) ? Comment trouvez-vous le 3, puis le 0, puis le 0, puis le 0, puis le 8, et comment vous pouvez continuer ?

Historiquement

Au XIXème siècle, des tables de logarithmes ont été créées avec une précision redoutable. Aujourd’hui, vous allez avoir une idée pour savoir comment ces tables ont été créées, chiffre après chiffre après la virgule.

Comment trouver le chiffre 3

Partez du fait que les logarithmes décimaux sont faciles à calculer avec les puissances de 10. Vous avez \(\log 10 = 1\), \(\log 100 = 2\), \(\log 1000 = 3\), \(\log 10\ 000= 4\).
Puisque \(1000 < 1002 < 10000\) vous avez \(3 < \log 1002 < 4\) et en déduisez que \(\log 1002 = 3,…\)

Comment trouver les autres chiffres après la virgule

Notez \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) les quatre chiffres après la virgule. Vous avez  \(\log 1002 = 3,abcd…\) les points de suspension représentent les autres chiffres après le \(d\).

Trouvez le chiffre \(a\)

Vous souhaitez faire apparaître le chiffre \(a\) à gauche de la virgule, mais tout seul. Vous retranchez 3 d’abord.  \( \log 1002-3 = 0,a…\).
Vous utilisez que \(\log 1000 = 3\) ce qui fait  \( \log 1002-\log 1000 = 0,a…\).
Puis  \( \log 1,002 = 0,a…\).
Pour attraper le chiffre  \( a\) vous multipliez par 10 et avez  \(10  \log 1,002 = a,…\)
Ainsi \( \log (1,002^{10}) = a,…\)
Cherchez à encadrer \(1,002^{10}\) par deux puissances de 10 consécutives et vous aurez tout bon.
Par approximation affine \(1,002^{10} \approx 1+ 0,002\times 10 \approx 1,02\). On se doute que \( 1< 1,002^{10} < 10 \) si bien que \( 0< \log(1,002^{10}) < 1 \) ce qui justifiera a posteriori que \( \log(1,002^{10}) =0,… \) et donc \( a=0\).
Comme \( 1 < 1,002\) on a \( 1 < 1,002^{10}\).
Pour une majoration \( 1,002^{10} < 10\) :
$$\begin{align*}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,1 \\
1,002^4 &\leq 1,1^2 \leq 1,21 \\
1,002^8 &\leq 1,21^2 \leq 1,4641\leq 1,47\\
1,002^{10} &\leq 1,47\times 1,1 \leq 1,617 < 10.
\end{align*}$$

Trouvez le chiffre \(b\)

\(\log 1002 = 3,0bcd…\) puis  \(\log 1002 -\log 1000= 0,0bcd…\) soit  \(\log 1,002 = 0,0bcd…\) d’où  \(\log (1,002^{100}) = b,cd…\)
$$\begin{align*}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,01 \\
1,002^4 &\leq 1,01^2 \leq 1,03 \\
1,002^8 &\leq 1,03^2 \leq 1,07\\
1,002^{16} &\leq 1,07^2 \leq 1,15\\
1,002^{32} &\leq 1,15^2 \leq 1,33\\
1,002^{64} &\leq 1,33^2 \leq 1,77 \\
1,002^{100} &\leq 1,77\times 1,15 \times 1,03 \leq 2,10 < 10.
\end{align*}$$
Ainsi \(b = 0.\)

Trouvez le chiffre \(c\)

\(\log 1002 = 3,00cd…\) puis   \(\log 1,002 = 0,00cd…\) d’où  \(\log (1,002^{1000}) = c,d…\)
$$\begin{align*}
1,002^2 &\leq 1,004004  \leq 1,0041 \\
1,002^4 &\leq 1,0041^2 \leq 1,0083 \\
1,002^8 &\leq 1,0083^2 \leq 1,0167\\
1,002^{16} &\leq 1,0167^2 \leq 1,0337\\ x
1,002^{32} &\leq 1,0337^2 \leq 1,0686\\
1,002^{64} &\leq 1,0686^2 \leq 1,1420 \\
1,002^{128} &\leq 1,1420^2 \leq 1,3042\\
1,002^{256} &\leq 1,3042^2 \leq 1,7010\\
1,002^{512} & \leq 1,7010^2 \leq 2,8935\\
1,002^{1000} &\leq 2,8935\times 1,7010\times 1,3042 \times 1,1420 \times 1,0686 \times 1,0167 \leq 7,97 < 10
\end{align*}$$
Ainsi \(c = 0.\)

Trouvez le chiffre \(d\)

$\log 1002 = 3,000d…$ puis   \(\log 1,002 = 0,000d…\) d’où  \(\log (1,002^{10000}) = d,…\)
On encadre \(1,002^{10000}\), il vient

$100\ 000\ 000 < 450\ 000\ 000 <$ $ 1,002^{10000} < 999\ 999\ 999.$
de là on déduit $8 < \log (1,002^{10\ 000}) < 9$ donc $d=8.$

Conclusion

\(\log 1002 = 3,0008…\) avec d’autres chiffres derrière.

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