Soit l’équation suivante $\e^{2x}+2\e^x-3=0$ d’inconnue $x$ qui est un nombre réel.

Démarrez en effectuant une analyse

Soit $x$ un nombre réel tel que $\e^{2x}+2\e^x-3=0.$

Effectuez un changement de variable

Vous posez $X = \e^x\comma$ de sorte que $X^2=(\e^x)^2 = \e^{2x}.$ Du coup, $X^2+2X-3=0.$

Vous constatez que $1^2+2\times 1-3=0\comma$ l’expression $X^2+2X-3$ est donc factorisable par $X-1\comma$ ce qui fournit $X^2+2X-3=(X-1)(X+3).$

Ainsi, $(X-1)(X+3)=0\comma$ donc $X=1$ ou $X=-3.$

Si $X=-3\comma$ alors $\e^x = -3\comma$ or l’exponentielle d’un nombre réel est un nombre strictement positif, ce qui est absurde, donc $X\neq -3.$

Par suite, $X=1$ donc $\e^x = 1.$

Identifiez les exposants

Comme $1 = \e^0\comma$ vous avez $\e^x = \e^0.$ Du coup, $x=0.$

Concluez

D’après l’analyse effectuée, $x=0$ est le seul candidat possible comme solution de l’équation $\e^{2x}+2\e^x-3=0.$

Or :

Donc $x=0$ est effectivement solution.

En définitive, l’équation $\e^{2x}+2\e^x-3=0$ admet une solution unique qui est $x=0.$