Dans cet article, vous allez déterminer le reste de la division de la somme $S = 1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5$ par 5.
Utilisez des calculs modulo $5$
Le but du calcul modulo $5$ consiste à l’utiliser que des nombres entiers qui sont positifs ou nuls et strictement inférieurs à $5.$
Modulo 5, vous avez :
\left\{
\begin{align*}
1&\equiv 1\pmod 5\\
2&\equiv 2\pmod 5\\
3&\equiv 3\pmod 5\\
4&\equiv 4\pmod 5\\
5&\equiv 0\pmod 5.
\end{align*}
\right.
Ensuite, le reste devient cyclique. La suite fournit ce qui suit :
\left\{
\begin{align*}
6&\equiv 1\pmod 5\\
7&\equiv 2\pmod 5\\
8&\equiv 3\pmod 5\\
9&\equiv 4\pmod 5\\
10&\equiv 0\pmod 5.
\end{align*}
\right.
En continuant, le cycle suivant apparaît :
\left\{
\begin{align*}
11&\equiv 1\pmod 5\\
12&\equiv 2\pmod 5\\
13&\equiv 3\pmod 5\\
14&\equiv 4\pmod 5\\
15&\equiv 0\pmod 5.
\end{align*}
\right.
Et ainsi de suite :
\left\{
\begin{align*}
96&\equiv 1\pmod 5\\
97&\equiv 2\pmod 5\\
98&\equiv 3\pmod 5\\
99&\equiv 4\pmod 5\\
100&\equiv 0\pmod 5.
\end{align*}
\right.
Passez à la puissance $5$
Le calcul modulaire permet ceci. Si $a \equiv b \pmod 5\comma$ alors $a^5\equiv b^5\pmod 5.$ Les calculs suivants fournissent :
\left\{
\begin{align*}
1^5&\equiv 1\pmod 5\\
2^5&\equiv 32 \equiv 2\pmod 5\\
3^5&\equiv 243\equiv 3 \pmod 5\\
4^5&\equiv 1024\equiv 4\pmod 5\\
5^5&\equiv 0^5\equiv 0 \pmod 5.
\end{align*}
\right.
Ainsi, vous avez :
\left\{
\begin{align*}
6^5&\equiv 1^5 \equiv 1\pmod 5\\
7^5&\equiv 2^5 \equiv 2\pmod 5\\
8^5&\equiv 3^5 \equiv 3\pmod 5\\
9^5&\equiv 4^5 \equiv 4\pmod 5\\
10^5&\equiv 0^5 \equiv 0\pmod 5.
\end{align*}
\right.
Ce processus se répète pour tous les autres cycles.
Calculez la somme $1^5+2^5+\cdots+100^5\pmod 5$
Compte tenu de ce qui précède, vous avez :
1^5+\cdots+100^5\equiv 1+\cdots+100\pmod 5.
Comme il y a $20$ cycles de longueur $5$ dans la somme $T=1+\cdots+100\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
T &\equiv 1+2+3+4+5\\
&\quad+\cdots+96+97+99+99+100 \pmod 5\\
&\equiv(1+2+3+4+5)\\
&\quad+\cdots+(1+2+3+4+5)\pmod 5\\
&\equiv 15+\cdots+15\pmod 5\\
&\equiv 5+\cdots+5 \pmod 5\\
&\equiv 5\times 20\pmod 5\\
&\equiv 100\pmod 5\\
&\equiv 0\pmod 5.
\end{align*}
Concluez
Vous avez prouvé que $1^5+\cdots+100^5\equiv 0\pmod 5.$ Ainsi, le reste de la division par $5$ de la somme $S= 1^5+\cdots+100^5$ est égal à $0.$
