Quel est le reste de la division de $1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5$ par 5 ?
Parmi les 5 propositions, choisissez la bonne !
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Découvrez les modulos
Comprendre ce qui se passe pour trouver le reste d’une division par 5 se traite très bien avec l’outil adéquat, qui s’appelle les modulos.
Modulo 5, ça marche comment ?
Modulo 5, vous avez :
\begin{aligned}
1&\equiv 1\pmod 5\\
2&\equiv 2\pmod 5\\
3&\equiv 3\pmod 5\\
4&\equiv 4\pmod 5\\
5&\equiv 0\pmod 5\\
\end{aligned}
Ensuite, le reste devient cyclique.
Premier cycle :
\begin{aligned}
6&\equiv 1\pmod 5\\
7&\equiv 2\pmod 5\\
8&\equiv 3\pmod 5\\
9&\equiv 4\pmod 5\\
10&\equiv 0\pmod 5\\
\end{aligned}
Cycle suivant :
\begin{aligned}
11&\equiv 1\pmod 5\\
12&\equiv 2\pmod 5\\
13&\equiv 3\pmod 5\\
14&\equiv 4\pmod 5\\
15&\equiv 0\pmod 5\\
\end{aligned}
et ainsi de suite jusqu’au dernier cycle :
\begin{aligned}
96&\equiv 1\pmod 5\\
97&\equiv 2\pmod 5\\
98&\equiv 3\pmod 5\\
99&\equiv 4\pmod 5\\
100&\equiv 0\pmod 5\\
\end{aligned}
Le passage à la puissance 5
Les modulos se comportent très bien avec les puissances.
De $a \equiv b \pmod 5$ vous avez aussi $a^5\equiv b^5\pmod 5$, résultat permettant d’effectuer des simplifications massives.
Premier cycle de puissances :
\begin{aligned}
1^5&\equiv 1\pmod 5\\
2^5&\equiv 32 \equiv 2\pmod 5\\
3^5&\equiv 243\equiv 3 \pmod 5\\
4^5&\equiv 1024\equiv 4\pmod 5\\
5^5&\equiv 0^5\equiv 0 \pmod 5\\
\end{aligned}
Pour le cycle suivant :
\begin{aligned}
6^5&\equiv 1^5 \equiv 1\pmod 5\\
7^5&\equiv 2^5 \equiv 2\pmod 5\\
8^5&\equiv 3^5 \equiv 3\pmod 5\\
9^5&\equiv 4^5 \equiv 4\pmod 5\\
10^5&\equiv 0^5 \equiv 0\pmod 5\\
\end{aligned}
et ainsi de suite pour tous les prochains cycles.
Calculez la somme $1^5+2^5+\cdots+100^5\pmod 5$
Vu ce qui précède, les puissances de 5 n’apportent rien.
$1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5\equiv 1+2+3+\cdots+100\pmod 5$
On peut calculer la somme $1+2+3+\cdots+100$ en utilisant une formule, mais ici, préférez rester dans les modulos tant qu’à faire :)
Comme il y a 20 cycles de 5, vous pouvez regrouper le tout par cycles successifs.
\begin{aligned}
1+2+3+4+5+\cdots+96+97+99+99+100&\equiv(1+2+3+4+5)+\cdots+(1+2+3+4+5)\pmod 5\\
&\equiv 15+\cdots+15\pmod 5\\
&\equiv 5+\cdots+5 \pmod 5\\
&\equiv 5\times 20\pmod 5\\
&\equiv 100\pmod 5\\
&\equiv 0.
\end{aligned}
Vous avez prouvé que $1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5\equiv 0\pmod 5$. Autrement dit, le reste cherché est égal à 0.
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