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048. Quel est le reste de la division de $1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5$ par 5 ?

Parmi les 5 propositions, choisissez la bonne !
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Découvrez les modulos

Comprendre ce qui se passe pour trouver le reste d’une division par 5 se traite très bien avec l’outil adéquat, qui s’appelle les modulos.

Modulo 5, ça marche comment ?

Modulo 5, vous avez :
$\begin{align*}
1&\equiv 1\pmod 5\\
2&\equiv 2\pmod 5\\
3&\equiv 3\pmod 5\\
4&\equiv 4\pmod 5\\
5&\equiv 0\pmod 5\\
\end{align*}$
Ensuite, le reste devient cyclique.

Premier cycle :
\(\begin{align*}
6&\equiv 1\pmod 5\\
7&\equiv 2\pmod 5\\
8&\equiv 3\pmod 5\\
9&\equiv 4\pmod 5\\
10&\equiv 0\pmod 5\\
\end{align*}\)

Cycle suivant :
\(\begin{align*}
11&\equiv 1\pmod 5\\
12&\equiv 2\pmod 5\\
13&\equiv 3\pmod 5\\
14&\equiv 4\pmod 5\\
15&\equiv 0\pmod 5\\
\end{align*}\)

et ainsi de suite jusqu’au dernier cycle :
\(\begin{align*}
96&\equiv 1\pmod 5\\
97&\equiv 2\pmod 5\\
98&\equiv 3\pmod 5\\
99&\equiv 4\pmod 5\\
100&\equiv 0\pmod 5\\
\end{align*}\)

Le passage à la puissance 5

Les modulos se comportent très bien avec les puissances.
De \(a \equiv b \pmod 5\) vous avez aussi \(a^5\equiv b^5\pmod 5\), résultat permettant d’effectuer des simplifications massives.

Premier cycle de puissances :
\(\begin{align*}
1^5&\equiv 1\pmod 5\\
2^5&\equiv 32 \equiv 2\pmod 5\\
3^5&\equiv 243\equiv 3 \pmod 5\\
4^5&\equiv 1024\equiv 4\pmod 5\\
5^5&\equiv 0^5\equiv 0 \pmod 5\\
\end{align*}\)

Pour le cycle suivant :
\(\begin{align*}
6^5&\equiv 1^5 \equiv 1\pmod 5\\
7^5&\equiv 2^5 \equiv 2\pmod 5\\
8^5&\equiv 3^5 \equiv 3\pmod 5\\
9^5&\equiv 4^5 \equiv 4\pmod 5\\
10^5&\equiv 0^5 \equiv 0\pmod 5\\
\end{align*}\)
et ainsi de suite pour tous les prochains cycles.

Calculez la somme \(1^5+2^5+\cdots+100^5\pmod 5\)

Vu ce qui précède, les puissances de 5 n’apportent rien.
\(1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5\equiv 1+2+3+\cdots+100\pmod 5\)

On peut calculer la somme \(1+2+3+\cdots+100\) en utilisant une formule, mais ici, préférez rester dans les modulos tant qu’à faire :)

Comme il y a 20 cycles de 5, vous pouvez regrouper le tout par cycles successifs.

\(\begin{align*}
1+2+3+4+5+\cdots+96+97+99+99+100&\equiv(1+2+3+4+5)+\cdots+(1+2+3+4+5)\pmod 5\\
&\equiv 15+\cdots+15\pmod 5\\
&\equiv 5+\cdots+5 \pmod 5\\
&\equiv 5\times 20\pmod 5\\
&\equiv 100\pmod 5\\
&\equiv 0.
\end{align*}\)

Vous avez prouvé que \(1^5+2^5+3^5+\cdots+100^5\equiv 0\pmod 5\). Autrement dit, le reste cherché est égal à 0.

Vous voulez d’autres solutions ?

Pas de problème, jetez un oeil ici sur Quora.

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