Le but de cet article est de calculer l’intégrale $I=\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dx$ et de montrer qu’elle fait apparaître précisément l’écart entre le nombre $\pi$ et la fraction $\frac{22}{7}.$
Cela vous permettra d’obtenir une démonstration du fait que la troncature du nombre $\pi$ au centième est égale à $3,14.$
Utilisez une division euclidienne
Vous allez diviser le polynôme $P$ défini par $P(X) = X^4(1-X)^4$ par le polynôme $Q$ défini par $Q(X)=1+X^2.$
Vous développez d’abord le polynôme $P\comma$ ce qui fournit :
\begin{align*}
P(X) &= X^4 (X^4-4X^3+6X^2-4X+1)\\
&= X^8-4X^7+6X^6-4X^5+X^4.
\end{align*}
Puis, vous passez à la division proprement dite.
\begin{array}{r|l}
X^8-4X^7+6X^6-4X^5+X^4 & \underline{X^2+1}\\
\underline{X^8+X^6} & X^6-4X^5+5X^4\\
-4X^7+5X^6-4X^5+X^4&-4X^2+4\\
\underline{-4X^7-4X^5}\\
5X^6+X^4\\
\underline{5X^6+5X^4}\\
-4X^4\\
\underline{-4X^4-4X^2}\\
4X^2\\
\underline{4X^2+4}\\
-4
\end{array}
Il apparaît que :
P(X) = (X^6-4X^5+5X^4-4X^2+4)Q(X)-4.
Calculez l’integrale $I$
\begin{align*}
I &=
\int_{0}^{1} (x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)\dx\\
&\quad – 4 \int_{0}^{1}\frac{\dx}{1+x^2}
\\
&=\left[\frac{x^7}{7}-\frac{4x^6}{6}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_{0}^{1}\\
&\quad – 4\left[\arctan x\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4 – 4(\arctan 1)\\
&=\frac{1}{7}-2+5-4\times \frac{\pi}{4}\\
&= \frac{1}{7}+3-\pi\\
&= \frac{22}{7}-\pi.
\end{align*}
Effectuez un encadrement de l’intégrale trouvée
D’une part, la fonction $x\mapsto \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$ est positive sur l’intervalle $[0,1]\comma$ donc $I\geq 0.$
D’autre part, pour tout réel $x\in[0,1]$ vous avez la majoration suivante, en constant que $1$ minore le dénominateur :
\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \leq x^4(1-x)^4.
Du coup :
I\leq \int_{0}^{1} x^4(1-x)^4\dx.
Vous effectuez le calcul de l’intégrale $J = \int_{0}^{1} x^4(1-x)^4 \dx$ comme suit :
\begin{align*}
J&= \int_{0}^{1} P(x) \dx\\
&= \int_{0}^{1} (x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4)\dx\\
&= \left[\frac{x^9}{9}-\frac{4x^8}{8}+\frac{6x^7}{7}-\frac{4x^6}{6}+\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{1}{9}-\frac{1}{2}+\frac{6}{7}-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\\
&=\frac{1}{9}-\frac{6}{9}-\frac{5}{10}+\frac{2}{10}+\frac{6}{7}\\
&=\frac{-5}{9}-\frac{3}{10}+\frac{6}{7}\\
&=\frac{-5}{9}-\frac{21}{70}+\frac{60}{70}\\
&=\frac{-5}{9}+\frac{39}{70}\\
&=\frac{-350}{630}+\frac{351}{630}\\
&=\frac{1}{630}.
\end{align*}
Comme $\frac{1}{630}\comma$ vous constatez que $J\gt 0,0016.$
Du coup :
0\leq I \leq 0,0016.
Concluez
De ce qui précède :
\begin{align*}
&0\leq \frac{22}{7}-\pi\leq 0,0016\\
&\frac{22}{7}-0,0016\leq \pi \leq \frac{22}{7}
\end{align*}
Comme $3,1428 \lt \frac{22}{7}\lt 3,1429\comma$ vous obtenez l’encadrement suivant dont la précision est inférieure à $2$ millièmes :
\boxed{3,1412 \lt \pi \lt 3,1429.}
