École AVOSZ

053. Étudiez le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire (partie 1/2)

2 février 2019

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous établissez d’abord un résultat préliminaire, puis vous étudiez le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire par analyse-synthèse.

Déterminez les nombres complexes dont la partie réelle est égale à leur module

Soit $z$ un nombre complexe tel que $\re z = \vert z \vert.$

Comme $\vert z \vert^2 = (\re z)^2+(\im z)^2\comma$ vous déduisez que $(\im z)^2=0$ puis que $\im z=0.$ Or, $z=\re z + i(\im z)\comma$ d’où $z = \re z.$ Ainsi $z = \vert z\vert$ donc $z$ est un réel positif ou nul.

Il a été montré que :

\boxed{\forall z\in\C, \re z = \vert z\vert \implies z\in\R_{+}.}

Analysez le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire

Soient $z$ et $w$ deux nombres complexes tels que :

\vert z+w\vert = \vert z \vert + \vert w\vert.

En élevant au carré, il vient :

\begin{align*} \vert z+w\vert^2 &= (\vert z \vert + \vert w\vert)^2\\ (z+w)(\overline{z}+\overline{w}) &= \vert z \vert^2+\vert w \vert^2 + 2\vert z \vert\vert w \vert\\ z\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{z}+w\overline{w} &= \vert z \vert^2+\vert w \vert^2 + 2\vert z \vert\vert w \vert\\ \vert z\vert^2+z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}+\vert w \vert^2 &= \vert z \vert^2+\vert w \vert^2 + 2\vert z \vert\vert w \vert\\ z\overline{w}+\overline{z\overline{w}} &= 2\vert z \vert\vert w \vert.\\ \end{align*}

Vous utilisez ensuite le fait que la somme d’un nombre complexe et de son conjugué est égale au double de sa partie réelle :

\begin{align*} 2\re(z\overline{w}) &= 2\vert z \vert\vert w \vert\\ \re(z\overline{w}) &= \vert z \vert\vert \overline{w} \vert\\ \re(z\overline{w}) &= \vert z \overline{w}\vert. \end{align*}

Utilisant le résultat de la partie précédente, le nombre complexe $z\overline{w}$ est un réel positif ou nul. Donc il existe $t\in\R_{+}$ tel que $z\overline{w} = t.$

Si $w\neq 0\comma$ vous écrivez :

\begin{align*} z\overline{w}w &= tw\\ z \vert w \vert^2 &= tw\\ z&=\frac{t}{\vert w \vert^2}w. \end{align*}

Vous posez $s = \frac{t}{\vert w \vert^2}\comma$ vous constatez que $s\in\R_{+}$ et que $z = sw.$

Vous avez donc établi que, quels que soient les nombres complexes $z$ et $w\comma$ vous avez :

\vert z+w\vert = \vert z \vert + \vert w\vert \implies \bigl( (w=0) \text{ ou } (\exists s\in\R_{+}, z=sw)\bigr).

Étudiez la réciproque

Soient $z$ et $w$ deux nombres complexes.

Le cas où $w=0$

Vous avez :

\begin{align*} \vert z+w\vert &= \vert z+0\vert\\ &= \vert z\vert\\ &= \vert z\vert + 0\\ &= \vert z\vert + \vert w\vert. \end{align*}

Le cas où il existe $s\in\R_{+}$ tel que $z=sw$

Vous avez :

\begin{align*} \vert z+w\vert &= \vert sw +w \vert\\ &= \vert (1+s)w \vert\\ &= \vert 1+s \vert \vert w \vert. \end{align*}

Comme $s$ est un réel positif, vous avez $s=\vert s\vert.$ Or, $1+s$ est aussi un réel positif, donc $1+s = \vert 1+s\vert.$ Ainsi :

\begin{align*} \vert z+w\vert &= ( 1+s ) \vert w \vert\\ &= \vert w \vert + s \vert w \vert\\ &= \vert w \vert + \vert s\vert \vert w \vert\\ &= \vert w \vert + \vert sw\vert \\ &= \vert w \vert + \vert z\vert\\ &= \vert z \vert + \vert w\vert. \end{align*}

Concluez

Vous avez ainsi établi une condition nécessaire et suffisante pour l’étude du cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire. Quels que soient les nombres complexes $z$ et $w\comma$ vous avez l’équivalence suivante :

\vert z+w\vert = \vert z \vert + \vert w\vert \iff \bigl( (w=0) \text{ ou } (\exists s\in\R_{+}, z=sw) \bigr).

Prolongement

Deux nombres complexes $z$ et $w$ peuvent aussi satisfaire le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire renversée, ils vérifient ce qui suit :

\vert\vert z\vert-\vert w\vert \vert = \vert z-w\vert.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 064.