Il s’agit dans ce contenu de trouver deux nombres réels dont la somme vaut $78$ et le produit vaut $225. $ Pour résoudre cette question, vous allez faire appel à deux outils importants.

Appliquez une identité remarquable

Quels que soient les réels $a$ et $b\comma$ vous avez :

Appliquez la formule du milieu

Quels que soient les réels $a$ et $b\comma$ la moyenne arithmétique de $a$ et de $b\comma$ définie par $m=\frac{a+b}{2}$ fournit un réel qui se trouve à égale distance des réels $a$ et $b.$

Analysez la situation

Supposez qu’il existe deux nombres réels dont la somme vaut $78$ et le produit vaut $225$. Notez $a$ le plus petit des deux et $b$ le plus grand. Notez $m$ le milieu de $a$ et de $b$. Notez enfin $x$ le réel défini par $\frac{b-a}{2}\comma$ qui est égal à la distance entre $a$ et $m\comma$ elle-même identique avec la distance entre $m$ et $b.$

Vous avez les égalités $a=m-x$ et $b=m+x$.

La somme $a+b$ vaut $78$ et elle est aussi égale à $2m\comma$ donc $m=39.$

Le produit $ab$ vaut $(m-x)(m+x)$ soit $m^2-x^2.$ Du coup, $ab = 39^2-x^2$. Comme le produit $ab$ est égal à $225\comma$ vous déduisez que $225=39^2-x^2$ puis que :

Comme $x$ est une distance, vous avez $x\geq 0\comma$ donc $x=36.$

Ainsi, vous déduisez ce qui suit :

Effectuez la synthèse et concluez

Considérez les nombres $3$ et $75.$ Leur somme vaut $75+3 =78.$ Leur produit est égal à $3\times 75 = 225.$ Le problème initial est résolu.

Prolongement

Il vous est proposé de déterminer deux nombres réels dont la somme vaut $20$ et le produit vaut $95.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 055.