054. Trouvez deux nombres dont la somme vaut 78 et le produit vaut 225

Quand je vois que ce problème est traité à coup de « relations entre les coefficients et racines d’un polynôme », résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues, utilisation du discriminant… je sors et je me dois d’écrire cet article pour montrer oh combien on peut résoudre cela sans se prendre le chou, avec des arguments compréhensibles dès le collège.

De quoi avez-vous besoin ?

Deux outils fondamentaux.

L’identité remarquable $\boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$ tout d’abord.
Puis la formule du milieu : si $a$ et $b$ sont deux nombres de milieu $m$, alors $\boxed{m=\frac{a+b}{2}}$, autrement dit, $m$ est la moyenne de $a$ et de $b$.

Et maintenant, l’analyse !

Supposez que vous avez trouvé deux nombres dont la somme vaut $78$ et le produit $225$. Notez $a$ le plus petit des deux et $b$ le plus grand. Notez $m$ le milieu de $a$ et de $b$. Notez $x$ l’écart $\dfrac{b-a}{2}$, avec $x$ positif.

Vous avez les égalités $a=m-x$ et $b=m+x$.

Maintenant passez au numérique. La somme $a+b$ vaut $78$ donc le milieu $m$ vaut deux fois moins, soit $39$.
Le produit $ab$ vaut $(m-x)(m+x)$ soit $m^2-x^2$, soit $39^2-x^2$.
Or vous voulez que ce produit soit égal à $225$, donc, pas le choix.

$\begin{align*}225&=39^2-x^2 \\x^2&=39^2-225\\ &=1521-225 \\&=1300-4\\&=1296\\&=36^2\end{align*}$.

Comme $x$ est positif, vous avez $x=36$.

Le plus petit des deux nombres est $a=39-36=3$ et le plus grand est $b=39+36=75$.

Synthèse et conclusion

Vous n’oubliez pas de vérifier : $3+75=78$, ok pour la somme. $3\times 75=210+15=225$. Voilà problème résolu : 3 et 75 sont deux nombres qui conviennent pour avoir une somme de 78 et un produit de 225 et ce sont les seuls, quitte à les permuter entre eux.

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