Un peu plus corsé que l’article 54 vu que les réponses ne pourront pas être des nombres entiers.
Que livre l’information selon laquelle la somme vaut 20 ?
Pour que la somme fasse 20, vous pouvez tester des nombres entiers d’abord.
Vous observez qu’il y a une symétrie autour de $10$ : $2$ et $18$ pour le début c’est $10-8$ et $10+8$. $3$ et $17$ pour le deuxième c’est $10-7$ et $10+7$.
Plus généralement, le plus petit nombre que vous cherchez est égal à $10-x$ et le plus grand à $10+x$ où $x$ désigne un nombre positif à déterminer…
Que livre l’information du produit égal à 95 ?
Le produit $(10-x)(10+x)$ est égal à $95$. Sauf que ce produit est aussi une identité remarquable connue vu que $\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$.
$(10-x)(10+x)=10^2-x^2$ donc $100-x^2=95$. Pas le choix, comme $100-5=95$, c’est que $x^2=5$ et $x=\sqrt{5}$ vu la positivité de $x$.
Synthèse et conclusion
Synthèse : $10-\sqrt{5}$ et $10+\sqrt{5}$ sont les seuls nombres qui peuvent convenir.
Conclusion : vous vérifiez que les nombres trouvés conviennent.
La somme $(10-\sqrt{5})+ (10+\sqrt{5})$ est bien égale à $20$ par élimination des racines carrées.
Le produit $(10-\sqrt{5})\times (10+\sqrt{5})$ est égal à $10^2 – (\sqrt{5})^2 = 100-5=95$.
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