Il vous est proposé de trouver deux nombres réels dont la somme vaut $20$ et le produit vaut $95.$

Cet article est similaire au précédent.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 054.

La difficulté est augmentée, étant donné qu’il n’existe aucune solution avec des nombres entiers.

Utilisez les diviseurs

Supposez qu’il existe deux nombres entiers $p$ et $q$ dont la somme vaut $20$ et le produit vaut $95.$

Alors $p$ est un diviseur de $95.$ La décomposition en produit de facteurs premiers de $95$ est $95 = 5\times 19.$ Il en résulte que $95$ possède exactement $8$ diviseurs qui sont $1, 5, 19, 95, -1, -5, -19, -95.$

Si $p=1\comma$ alors $pq = 95$ fournit $q=95.$ Or, $p+q\neq 20.$

Si $p=5\comma$ alors $q = 19\comma$ mais $p+q\neq 20.$

Si $p=19\comma$ alors $q = 5\comma$ mais $p+q\neq 20.$

Si $p=95\comma$ alors $q = 1\comma$ mais $p+q\neq 20.$

Si $p\in\{-1, -5, -19, -95\}\comma$ alors comme $pq$ est strictement positif, vous déduisez que $q$ est strictement négatif. La somme $p+q$ est alors strictement négative et ne peut être égale à $20.$

Utilisez le milieu

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a+b=20$ et $ab=95.$ Vous notez $m=\frac{a+b}{2}.$ Alors $m = \frac{20}{2}=10.$

Posez $x = \frac{b-a}{2}.$ Par somme, $m+x = b$ et par différence, $m-x=a.$ Comme $ab=95$ vous obtenez $(m-x)(m+x)=95\comma$ puis $m^2-x^2=95.$ Cela vous permet de trouver les valeurs possibles de $x.$

En effet, $x^2 = m^2-95$ d’où $x^2 = 10^2-95$ d’où $x^2 = 5.$

Le cas où $x$ est positif

Il vient $x = \sqrt{5}$ puis :

Le cas où $x$ est négatif

Alors $x = -\sqrt{5}.$ Du coup :

Vous constatez que vous obtenez les mêmes valeurs que précédemment, mais dans l’ordre inverse.

Effectuez la synthèse et concluez

Considérez les deux nombres $10+\sqrt{5}$ et $10-\sqrt{5}.$

Leur somme est bien égale à $20.$ Leur produit est une identité remarquable :

Vous constatez que les deux nombres précités conviennent.