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055. Trouvez deux nombres dont la somme vaut 20 et le produit vaut 95

Un peu plus corsé que l’article 54 vu que les réponses ne pourront pas être des nombres entiers.

Que livre l’information selon laquelle la somme vaut 20 ?

Pour que la somme fasse 20, vous pouvez tester des nombres entiers d’abord.

Vous observez qu’il y a une symétrie autour de $10$ : $2$ et $18$ pour le début c’est $10-8$ et $10+8$. $3$ et $17$ pour le deuxième c’est $10-7$ et $10+7$.
Plus généralement, le plus petit nombre que vous cherchez est égal à $10-x$ et le plus grand à $10+x$ où $x$ désigne un nombre positif à déterminer…

Que livre l’information du produit égal à 95 ?

Le produit $(10-x)(10+x)$ est égal à $95$. Sauf que ce produit est aussi une identité remarquable connue vu que $\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$.

$(10-x)(10+x)=10^2-x^2$ donc $100-x^2=95$. Pas le choix, comme $100-5=95$, c’est que $x^2=5$ et $x=\sqrt{5}$ vu la positivité de $x$.

Synthèse et conclusion

Synthèse : $10-\sqrt{5}$ et $10+\sqrt{5}$ sont les seuls nombres qui peuvent convenir.

Conclusion : vous vérifiez que les nombres trouvés conviennent.
La somme $(10-\sqrt{5})+ (10+\sqrt{5})$ est bien égale à $20$ par élimination des racines carrées.
Le produit $(10-\sqrt{5})\times (10+\sqrt{5})$ est égal à $10^2 – (\sqrt{5})^2 = 100-5=95$.

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