École AVOSZ

056. Résolvez une équation en adoptant une autre inconnue

13 février 2019

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans cet article, vous cherchez à déterminer tous les nombres réels $x$ tels que $(x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1).$

Soit $x$ un nombre réel tel que $(x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1).$ Vous posez $y=x+4.$ Cela simplifie la vision de l’équation proposée.

Le nombre réel $(x+4)(x+4)$ est égal à $y^2.$ Le produit $(x+4)(3x+1)$ est égal à $y(3x+1)$.

Afin d’éviter de mélanger les $x$ et les $y\comma$ vous observez que $y-4=x\comma$ puis que :

\begin{align*} 3x+1&=3(y-4)+1\\ &=3y-12+1\\ &=3y-11. \end{align*}

Ainsi, vous avez $y^2=y(3y-11).$

Si $y=0\comma$ vous obtenez $x=-4.$

Si $y\neq 0\comma$ vous pouvez diviser les deux membres de l’équation par $y$ et vous obtenez successivement :

\begin{align*} y&=3y-11\\ 11&=2y\\ \frac{11}{2}&=y\\ \frac{11}{2}-4&=y-4\\ \frac{11}{2}- \frac{8}{2}&=x\\ \frac{3}{2}&=x. \end{align*}

Il y a ainsi deux candidats pour les solutions : $x=-4$ et $x=\frac{3}{2}.$

Pour $x=-4\comma$ vous avez $(x+4)(x+4) = 0$ et $(x+4)(3x+1)=0\comma$ donc $-4$ est bien solution.

Pour $x=\frac{3}{2}\comma$ vous avez d’une part :

\begin{align*} (x+4)(x+4)&=\left(\frac{3}{2}+4\right)^2\\ &= \left(\frac{11}{2}\right)^2\\ &= \frac{121}{4}. \end{align*}

D’autre part, vous obtenez ce qui suit :

\begin{align*} (x+4)(3x+1) &= \frac{11}{2}\times \left(\frac{9}{2}+1\right)\\ &=\frac{11}{2}\times \frac{11}{2}\\ &=\frac{121}{4}. \end{align*}

Du coup, $\frac{3}{2}$ est bien solution.

En définitive, l’équation $(x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1)$ admet exactement deux solutions qui sont $x=-4$ et $x=\frac{3}{2}.$