Dans cet article, vous travaillez dans l’ensemble $\R(X)$ des fractions rationnelles à coefficients réels.
Il vous est proposé de déterminer la décomposition de $\frac{X^2+1}{X-2}$ en éléments simples.
Utilisez un changement de variable
Afin de simplifier le dénominateur, posez $Y=X-2.$ Vous calculez $X^2+1$ en fonction de $Y$ comme suit :
\begin{align*}
X^2+1&=(2+Y)^2+1\\
&=4+Y^2+4Y+1 \\
&=Y^2+4Y+5.
\end{align*}
Concluez
Vous déduisez du calcul précédent que :
\begin{align*}
\frac{X^2+1}{X-2} &=\frac{Y^2+4Y+5}{Y}\\
&=Y+4+\frac{5}{Y}\\
&=X-2+4+\frac{5}{X-2}\\
&=X+2+\frac{5}{X-2}.
\end{align*}