Dans cet article, vous travaillez dans l’ensemble $\R(X)$ des fractions rationnelles à coefficients réels.
Il vous est proposé de déterminer la décomposition de $\frac{2X^2+1}{(X-1)^2}$ en éléments simples.
Utilisez un changement de variable
Afin de simplifier le dénominateur, posez $Y=X-1.$ Vous calculez $2X^2+1$ en fonction de $Y$ comme suit :
\begin{align*}
2X^2+1&=2(1+Y)^2+1\\
&=2(Y^2+2Y+1)+1 \\
&=2Y^2+4Y+3.
\end{align*}
Concluez
Vous déduisez du calcul précédent que :
\begin{align*}
\frac{2X^2+1}{(X-1)^2} &=\frac{2Y^2+4Y+3}{Y^2}\\
&=2+\frac{4}{Y}+\frac{3}{Y^2}\\
&=2+\frac{4}{X-1}+\frac{3}{(X-1)^2}.
\end{align*}