Dans cet article, vous travaillez dans l’ensemble $\R(X)$ des fractions rationnelles à coefficients réels.
Il vous est proposé de déterminer la décomposition de $\frac{X^6}{(X^2+1)(X^4+1)}$ en éléments simples.
L’objectif principal est d’exposer une méthode systématique utilisant des calculs sur des polynômes. D’autres réponses alternatives ne sont pas présentées dans ce contenu.
Utilisez un changement de variable
Vous posez $Y = X^2+1\comma$ de façon à simplifier la fraction rationnelle en $X$ qui vous a été fournie.
Pour le dénominateur, vous calculez $X^4+1$ en développant :
\begin{align*}
X^4+1 &= (X^2)^2+1\\
&= (Y-1)^2+1\\
&= Y^2-2Y+2.
\end{align*}
Pour le numérateur, il vient :
\begin{align*}
X^6 &= (X^2)^3\\
&=(Y-1)^3\\
&=Y^3-3Y^2+3Y-1.
\end{align*}
Ainsi, vous avez obtenu :
\begin{align*}
\frac{X^6}{(X^2+1)(X^4+1)} &= \frac{Y^3-3Y^2+3Y-1}{Y(Y^2-2Y+2)}.
\end{align*}
Effectuez une division selon les puissances croissantes
\begin{array}{r|l}
-1+3Y-3Y^2+Y^3 & \underline{2-2Y+Y^2} \\
\underline{-1+Y-\frac{1}{2}Y^2} & \frac{-1}{2}\\
2Y-\frac{5}{2}Y^2+Y^3&
\end{array}
Cette division permet d’écrire que :
\frac{Y^3-3Y^2+3Y-1}{Y^2-2Y+2} = \frac{-1}{2}+\frac{Y^3-\frac{5}{2}Y^2+2Y}{Y^2-2Y+2}.
En divisant par $Y\comma$ vous avez :
\frac{Y^3-3Y^2+3Y-1}{Y(Y^2-2Y+2)} = \frac{-1}{2Y}+\frac{Y^2-\frac{5}{2}Y+2}{Y^2-2Y+2}.
Note. Il est possible de déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle obtenue en $Y.$ Pour des raisons pédagogiques, il a été choisi de poursuivre la méthode, avec la nouvelle fraction rationnelle obtenue en $X.$
Vous calculez maintenant $Y^2-\frac{5}{2}Y+2$ en fonction de $X\comma$ en développant :
\begin{align*}
Y^2-\frac{5}{2}Y+2 &= (X^2+1)^2-\frac{5}{2}(X^2+1)+2\\
&=X^4+2X^2+1-\frac{5}{2}X^2-\frac{5}{2}+2\\
&=X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}.
\end{align*}
Vous avez à ce stade trouvé que :
\boxed{\begin{align*}
\frac{X^6}{(X^2+1)(X^4+1)} &= \frac{-1}{2(X^2+1)}+\frac{X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}}{X^4+1}.
\end{align*}}
Factorisez dans $\R[X]$ le polynôme $X^4+1$
Vous forcez l’apparition d’une identité remarquable :
\begin{align*}
X^4+1 &=(X^4+2X^2+1)-2X^2\\
&=(X^2+1)^2 -2X^2.
\end{align*}
Puis vous utilisez une deuxième identité remarquable :
\begin{align*}
X^4+1 &=(X^2+1)^2 -2X^2\\
&= (X^2+1)^2 – (\sqrt{2}X)^2\\
&=(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1).
\end{align*}
Il reste à trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\frac{X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}}{(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)}.$
Utilisez un second changement de variable
Afin de simplifier le dénominateur, vous posez $Z = X^2-\sqrt{2}X+1.$
Le facteur de droite du dénominateur s’exprime en fonction de $X$ et de $Z\comma$ grâce la relation précédente :
\begin{align*}
X^2+\sqrt{2}X+1 &= (Z+\sqrt{2}X-1)+\sqrt{2}X+1\\
&=Z+2\sqrt{2}X.
\end{align*}
Le numérateur s’exprime aussi en fonction de $X$ et des puissances de $Z.$ Autrement dit, les puissances de $X$ dont l’exposant est supérieur ou égal à $2$ sont éliminées.
Vous avez :
\begin{align*}
X^4 &= (X^2)^2\\
&= (Z+\sqrt{2}X-1)^2\\
&= Z^2+2X^2+1+2\sqrt{2}XZ-2Z-2\sqrt{2}X\\
&= Z^2 +(2\sqrt{2}X-2)Z+2X^2-2\sqrt{2}X+1\\
&= Z^2 +(2\sqrt{2}X-2)Z\\
&\quad+2(Z+\sqrt{2}X-1)-2\sqrt{2}X+1\\
&=Z^2 +2\sqrt{2}XZ-1.
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} &= Z^2 +2\sqrt{2}XZ-1 \\
&\quad- \frac{1}{2}(Z+\sqrt{2}X-1)+\frac{1}{2}\\
&=Z^2 +2\sqrt{2}XZ – \frac{1}{2}Z-\frac{\sqrt{2}}{2}X\\
&=Z^2 +\left(2\sqrt{2}X – \frac{1}{2}\right)Z-\frac{\sqrt{2}}{2}X.
\end{align*}
Vous avez obtenu :
\begin{align*}
\frac{X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}}{X^2+\sqrt{2}X+1} &=\frac{Z^2 +\left(2\sqrt{2}X – \frac{1}{2}\right)Z-\frac{\sqrt{2}}{2}X}{Z+2\sqrt{2}X}.
\end{align*}
Effectuez une seconde division selon les puissances croissantes
\begin{array}{r|l}
-\frac{\sqrt{2}}{2}X+(2\sqrt{2}X-\frac{1}{2})Z+Z^2 & \underline{2\sqrt{2}X + Z}\\
\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}X-\frac{1}{4}Z}& \frac{-1}{4}\\
(2\sqrt{2}X-\frac{1}{4})Z + Z^2&
\end{array}
Cela fournit :
\frac{Z^2 +\left(2\sqrt{2}X – \frac{1}{2}\right)Z-\frac{\sqrt{2}}{2}X}{Z+2\sqrt{2}X} = \frac{-1}{4}+\frac{(2\sqrt{2}X-\frac{1}{4})Z + Z^2}{2\sqrt{2}X+Z}.
Après division par $Z$ vous obtenez :
\frac{Z^2 +\left(2\sqrt{2}X – \frac{1}{2}\right)Z-\frac{\sqrt{2}}{2}X}{Z(Z+2\sqrt{2}X)} = \frac{-1}{4Z}+\frac{2\sqrt{2}X-\frac{1}{4} + Z}{2\sqrt{2}X+Z}.
Du coup :
\begin{align*}
\frac{X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}}{Z(X^2+\sqrt{2}X+1)} &= \frac{-1}{4Z}+\frac{2\sqrt{2}X-\frac{1}{4} + Z}{2\sqrt{2}X+Z}\\
&=\frac{-1}{4Z}+1-\frac{1}{4(2\sqrt{2}X+Z)}\\
&=\frac{-1}{4Z}+1-\frac{1}{4(X^2+\sqrt{2}X+1)}.
\end{align*}
Concluez
En remplaçant $Z$ par $X^2-\sqrt{2}X+1$ il vient :
\begin{align*}
\frac{X^4-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}}{X^4+1} &= 1-\frac{1}{4(X^2-\sqrt{2}X+1)}\\
&\qquad-\frac{1}{4(X^2+\sqrt{2}X+1)}.
\end{align*}
La décomposition en éléments simples de la fraction de départ est trouvée :
\boxed{\begin{align*}
\frac{X^6}{(X^2+1)(X^4+1)} &= 1-\frac{1}{2(X^2+1)}-\frac{1}{4(X^2-\sqrt{2}X+1)}\\
&\qquad-\frac{1}{4(X^2+\sqrt{2}X+1)}.
\end{align*}}
