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066. Explorez les modules à partir des espaces vectoriels

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Par analogie avec la structure d’un $\R$-espace vectoriel, vous appelez $\Z$-module une structure algébrique qui vérifie les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels.

Plus précisément, soit $E$ un ensemble. Vous supposez que $E$ est muni d’une opération interne d’addition notée $+$ et d’une multiplication externe implicite : un nombre entier multiplié par un élément de $E$ donne un élément de $E.$

Vous supposez en plus que $E$ vérifie les huit axiomes suivants :

\left\{\begin{align*} &\forall (x,y)\in E^2, x+y=y+x\\ &\exists \mathbf{0} \in E, \forall x\in E, \mathbf{0}+x=x\\ &\forall (x,y,z)\in E^3, x+(y+z)=(x+y)+z\\ &\forall x\in E, \exists x^{\prime}\in E, x+x^{\prime} = 0\\ &\forall n\in\Z, \forall(x,y)\in E^2, n(x+y)=nx+ny\\ &\forall (n,m)\in\Z^2, \forall x\in E, (n+m)x=nx+mx\\ &\forall (n,m)\in\Z^2, \forall x\in E, n(mx)=(nm)x\\ &\forall x\in E, 1x = x. \end{align*} \right.

L’ensemble $E$ est alors muni d’une structure de $\Z$-module. De même, les concepts de familles libres, liées et de bases sont les mêmes que ceux des espaces vectoriels.

Explicitez une différence

Les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels ont été utilisés, en remplaçant le corps $\R$ par l’anneau $\Z.$

Il est rappelé qu’un espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs admet automatiquement une base finie. Vous allez constater que cet énoncé ne s’applique pas pour les modules en général. Voici un exemple ci-dessous.

Considérez l’ensemble $E=\Z/3\Z.$ Il est muni d’une structure de $\Z$-module. Il est fini, donc il est engendré par la famille finie constituée de ses trois éléments.

En raisonnant comme avec les espaces vectoriels, vous vous attendriez à ce que ce $\Z$-module possède une base de $3$ vecteurs ou moins. Or, cela n’est pas le cas, puisque toute famille finie non vide de ce $\Z$-module est liée. En effet, $\forall x\in E, 3x = 0.$