Par analogie avec les $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, on appelle $\mathbb{Z}$-module une structure algébrique qui vérifie les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels.
Soit $E$ un $\mathbb{Z}$-module. $E$ est muni d’une addition notée $+$ et d’une multiplication externe : un nombre entier multiplié par un élément de $E$ donne un élément de $E$.
$E$ vérifie en tant que $\mathbb{Z}$-module les axiomes suivants :
- $(E,+)$ est un groupe abélien,
- $\forall n\in\mathbb{Z}, \forall(u,v)\in E^2, n(u+v)=nu+nv,$
- $\forall (n,m)\in\mathbb{Z}^2, \forall u\in E, (n+m)u=nu+mu,$
- $\forall (n,m)\in\mathbb{Z}^2, \forall u\in E, n(mu)=(nm)u,$
- $ \forall u\in E, 1u=u.$
De même les concepts de familles libres, liées, de bases sont les mêmes.
Des modules ? Pour en faire quoi ?
On a pris les mêmes axiomes que ceux des espaces vectoriels… alors à quoi bon créer deux mots différents pour ce qui ressemble à une même structure ?
Changer $\mathbb{R}$ par $\mathbb{Z}$ dans les axiomes peut avoir l’air innocent… il va se passer quelque chose pour les modules qui n’existe pas pour les espaces vectoriels.
L’ensemble $E=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est muni d’une structure de $\mathbb{Z}$-module. Il est fini donc il est engendré par la famille finie constituée de ses trois éléments. On s’attendrait, en raisonnant comme avec les espaces vectoriels, à ce que ce $\mathbb{Z}$-module possède une base de 3 vecteurs ou moins. Et il n’en est rien : tout famille finie de ce $\mathbb{Z}$-module est liée vu que $\forall a\in E, 3a = 0…$
Un espace vectoriel engendré par une famille finie admet automatiquement une base finie… mais pour les modules il n’en est rien !
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