Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $4\alpha^3=3\alpha + 8.$ Il s’agit de simplifier la fraction suivante $\frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}.$
Élaborez un plan d’action
Pour faire disparaître le dénominateur présent dans la fraction précitée vous choisissez de poser $\beta = 4\alpha^2-1.$ Vous allez calculer les puissances successives de $\beta.$ Elles s’expriment toutes en fonction de $\alpha$ et de $\alpha^2.$
Étudiez les puissances de $\beta$
\begin{align*}
\beta^2 &= ( 4\alpha^2-1)^2 \\
&=16\alpha^4-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha(4\alpha^3)-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha(3\alpha + 8)-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha^2+32\alpha+1.
\end{align*}
\begin{align*}
\beta^3 &= \beta^2( 4\alpha^2-1) \\
&=(4\alpha^2+32\alpha+1)(4\alpha^2-1)\\
&=16\alpha^4-4\alpha^2+32( 4\alpha^3)-32\alpha+4\alpha^2-1\\
&=4\alpha (4\alpha^3)+32 (4\alpha^3)-32\alpha-1\\
&=4\alpha (3\alpha + 8)+32(3\alpha + 8)-32\alpha-1\\
&=12\alpha^2+32\alpha+96\alpha+256-32\alpha-1\\
&=12\alpha^2+96\alpha+255.
\end{align*}
Éliminez $\alpha$
Le système suivant est obtenu grâce aux calculs précédents :
\left\{\begin{align*}
1 +0\alpha +0\alpha^2 &=1\\
-1 +0\alpha +4\alpha^2 &=\beta\\
1 +32\alpha +4\alpha^2 &=\beta^2\\
255 +96\alpha +12\alpha^2 &=\beta^3.
\end{align*}
\right.
Vous effectuez des opérations élémentaires petit à petit :
\left\{\begin{align*}
&\quad0\alpha +4\alpha^2 =1+\beta\\
&\quad32\alpha +4\alpha^2 =-1+\beta^2\\
&\quad96\alpha +12\alpha^2 =-255+\beta^3.
\end{align*}
\right.
Vous permutez deux lignes :
\left\{\begin{align*}
&\quad32\alpha +4\alpha^2 =-1+\beta^2\\
&\quad0\alpha +4\alpha^2 =1+\beta\\
&\quad96\alpha +12\alpha^2 =-255+\beta^3.
\end{align*}
\right.
Vous effectuez une opération élémentaire :
\left\{\begin{align*}
32\alpha +4\alpha^2 & =-1+\beta^2\\
\quad4\alpha^2 &=1+\beta\\
0 &=\beta^3-3\beta^2-252.
\end{align*}
\right.
D’après la dernière équation obtenue, vous avez $\beta\neq 0\comma$ puis :
\boxed{\frac{252}{\beta}=\beta^2-3\beta.}
Concluez
\begin{align*}
252\times \frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} &= \dfrac{252}{\beta} (\alpha^3+1) \\
&= (\beta^2-3\beta)(\alpha^3+1)\\
&=(4\alpha^2+32\alpha+1 -12\alpha^2+3)(\alpha^3+1)\\
&=(-8\alpha^2+32\alpha +4)(\alpha^3+1)\\
&=(-2\alpha^2+8\alpha +1)(4\alpha^3+4)\\
&=(-2\alpha^2+8\alpha +1)(3\alpha+12)\\
&=-6\alpha^3-24\alpha^2+24\alpha^2+96\alpha+3\alpha+12\\
&=-6\alpha^3+99\alpha+12.\\
\end{align*}
Vous simplifiez par $3$ et multipliez par $2\comma$ il vient :
\begin{align*}
84\times \frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} &=-2\alpha^3+33\alpha+4\\
168\times \frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\
&=-3\alpha-8+66\alpha+8\\
&=63\alpha.
\end{align*}
Puis vous simplifiez par $7$ puis par $3\comma$ pour obtenir :
\begin{align*}
168\times \frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} &=63\alpha\\
24\times \frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} &=9\alpha\\
8\times \frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} &=3\alpha.
\end{align*}
Vous en tirez le résultat final :
\boxed{\frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}=\frac{3}{8}\alpha.}
Prolongement
Une autre technique, plus courte, est présentée dans un autre contenu.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 071.
