Ce qui motive cet article, c’est la simplification de la fraction $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}$, sachant que $\alpha$ est un réel vérifiant la relation $4\alpha^3=3\alpha + 8.$
Le plan d’action
Il faut faire disparaître le dénominateur présent dans $f(\alpha)$, ce qui motive le choix de poser $\beta = 4\alpha^2-1$.
Vous allez calculer les puissances successives de $\beta$.
Elles s’expriment toutes en fonction de $\alpha$ et de $\alpha^2.$
Vous utilisez l’élimination exactement comme si vous résolvez un système linéaire d’équations. De là, vous éliminez tous les $\alpha$ et $\alpha^2$.
Vous en tirez une expression avec des puissances successives de $\beta$ uniquement.
Vous pouvez exprimer $\dfrac{1}{\beta}$ en fonction de $\alpha$ et $\alpha^2$ et supprimer le dénominateur de $f(\alpha)…$
Etude des puissances de $\beta$
\begin{aligned}
\beta^2 &= ( 4\alpha^2-1)^2 \\
&=16\alpha^4-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha(4\alpha^3)-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha(3\alpha + 8)-8\alpha^2+1\\
&=4\alpha^2+32\alpha+1.
\end{aligned}
\begin{aligned}
\beta^3 &= \beta^2( 4\alpha^2-1) \\
&=(4\alpha^2+32\alpha+1)(4\alpha^2-1)\\
&=16\alpha^4-4\alpha^2+32( 4\alpha^3)-32\alpha+4\alpha^2-1\\
&=4\alpha (4\alpha^3)+32 (4\alpha^3)-32\alpha-1\\
&=4\alpha (3\alpha + 8)+32(3\alpha + 8)-32\alpha-1\\
&=12\alpha^2+32\alpha+96\alpha+256-32\alpha-1\\
&=12\alpha^2+96\alpha+255.
\end{aligned}
Elimination de $\alpha$
Le système suivant est obtenu :
\begin{aligned}
1 +0\alpha +0\alpha^2 &=1\\
-1 +0\alpha +4\alpha^2 &=\beta\\
1 +32\alpha +4\alpha^2 &=\beta^2\\
255 +96\alpha +12\alpha^2 &=\beta^3.
\end{aligned}
Vous effectuez des opérations élémentaires.
\begin{aligned}
1 &+0\alpha +0\alpha^2 =1\\
&+0\alpha +4\alpha^2 =1+\beta\\
&+32\alpha +4\alpha^2 =-1+\beta^2\\
&+96\alpha +12\alpha^2 =-255+\beta^3.
\end{aligned}
Une permutation de deux lignes.
\begin{aligned}
1 &+0\alpha +0\alpha^2 =1\\
&+32\alpha +4\alpha^2 =-1+\beta^2\\
&+0\alpha +4\alpha^2 =1+\beta\\
&+96\alpha +12\alpha^2 =-255+\beta^3.
\end{aligned}
Et une opération élémentaire.
\begin{aligned}
1 +0\alpha +0\alpha^2 &=1\\
+32\alpha +4\alpha^2 & =-1+\beta^2\\
+4\alpha^2 &=1+\beta\\
0 &=\beta^3-3\beta^2-252.
\end{aligned}
On en déduit le résultat : $\dfrac{252}{\beta}=\beta^2-3\beta.$
Le calcul de $f(\alpha)$
\begin{aligned}
f(\alpha) &=\dfrac{\alpha^3+1}{\beta}\\
252f(\alpha) &= \dfrac{252}{\beta} (\alpha^3+1) \\
&= (\beta^2-3\beta)(\alpha^3+1)\\
&=(4\alpha^2+32\alpha+1 -12\alpha^2+3)(\alpha^3+1)\\
&=(-8\alpha^2+32\alpha +4)(\alpha^3+1)\\
&=(-2\alpha^2+8\alpha +1)(4\alpha^3+4)\\
&=(-2\alpha^2+8\alpha +1)(3\alpha+12)\\
&=-6\alpha^3-24\alpha^2+24\alpha^2+96\alpha+3\alpha+12\\
&=-6\alpha^3+99\alpha+12.\\
\end{aligned}
On simplifie par 3.
\begin{aligned}
84f(\alpha) &=-2\alpha^3+33\alpha+4\\
168f(\alpha) &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\
&=-3\alpha-8+66\alpha+8\\
&=63\alpha\\
\end{aligned}
On simplifie par 7 puis par 3.
\begin{aligned}
168f(\alpha) &=63\alpha\\
24f(\alpha) &=9\alpha\\
8f(\alpha)&=3\alpha
\end{aligned}
et on obtient le résultat $f(\alpha)=\dfrac{3}{8}\alpha.$
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