071. Comment simplifier une expression ? (2/2)

Soit $\alpha$ un réel vérifiant la relation $\boxed{4\alpha^3 = 3\alpha+8}$. Vous souhaitez simplifier la fraction suivante : $\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}.$

Les coefficients de Bézout

Vous allez chercher deux polynômes $P$ et $Q$ tels que $P(X)(4X^3-3X-8)+Q(X)(4X^2-1)=1$.

Pourquoi ? Si vous y parvenez, en remplaçant l’indéterminée $X$ par $\alpha$, vous obtiendrez $P(\alpha)(4\alpha^3-3\alpha-8)+Q(\alpha)(4\alpha^2-1)=1$. Comme $4\alpha^3-3\alpha-8=0$, vous aurez l’égalité $\dfrac{1}{4\alpha^2-1} = Q(\alpha)$.

Pour la suite, posez $A(X)=4X^3-3X-8$ et $B(X)=4X^2-1.$

Commencez par les relations fondamentales.

$\begin{align*}
1A(X)+0B(X) &= 4X^3-3X-8 \\
0A(X)+1B(X) &=4X^2-1.
\end{align*}$

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivi de $L_2 \leftarrow L_2-XL_1.$

$\begin{align*}
0A(X)+1B(X) &= 4X^2-1 \\
1A(X)-XB(X) &=-2X-8.
\end{align*}$

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivi de $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$

$\begin{align*}
1A(X)-XB(X) &=-2X-8\\
2XA(X)+(-2X^2+1)B(X) &=-16X-1 \\
\end{align*}$

Effectuez la combinaison $ -8L_1+L_2$ qui élimine $X$ dans le membre de droite, pour obtenir $(2X-8)A(X)+(-2X^2+8X+1)B(X)=63.$

Cela vous donne : $\dfrac{63}{4\alpha^2-1} = -2\alpha^2+8\alpha+1.$

Ainsi : $\dfrac{63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} = (\alpha^3+1)(-2\alpha^2+8\alpha+1).$

Dernière partie, la simplification cherchée

Pour utiliser l’expression $4\alpha^3=3\alpha+8$, vous multipliez par $4$ :

$\begin{align*}
\dfrac{4\times 63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &= (4\alpha^3+4)(-2\alpha^2+8\alpha+1) \\
&=(3\alpha+12)(-2\alpha^2+8\alpha+1)\\
&=-6\alpha^3+24\alpha^2+3\alpha-24\alpha^2+96\alpha+12\\
&=-6\alpha^3+99\alpha+12.
\end{align*}
$

Vous divisez par $3$ :
$\dfrac{4\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =-2\alpha^3+33\alpha+4.$

Vous multipliez par $2$ :
$\begin{align*}
\dfrac{8\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\
&= -3\alpha-8+66\alpha+8\\
&=63\alpha.
\end{align*}$

Vous divisez par $21$ :
$\dfrac{8(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =3\alpha$

et finalement vous retrouvez : $\boxed{\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} =\dfrac{3\alpha}{8}}.$

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