École AVOSZ

071. Entraînez-vous à simplifier une expression (partie 2/2)

24 novembre 2019

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $4\alpha^3 = 3\alpha+8.$ Vous souhaitez simplifier la fraction $\frac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}.$

Ce contenu s’inscrit dans le prolongement du précédent.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 070.

Vous allez chercher deux polynômes réels $P$ et $Q$ tels que $P(X)(4X^3-3X-8)+Q(X)(4X^2-1)=1.$

Pour la suite, posez $A(X)=4X^3-3X-8$ et $B(X)=4X^2-1.$

Vous effectuez l’algorithme d’Euclide étendu, il commence avec ce qui suit :

\left\{\begin{align*} 1A(X)+0B(X) &= 4X^3-3X-8 \\ 0A(X)+1B(X) &=4X^2-1. \end{align*} \right.

Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivie de $L_2 \leftarrow L_2-XL_1.$ Il vient :

\left\{\begin{align*} 0A(X)+1B(X) &= 4X^2-1 \\ 1A(X)-XB(X) &=-2X-8. \end{align*} \right.

Effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftrightarrow L_1$ suivie de $L_2 \leftarrow L_2+2XL_1.$ Il vient :

\left\{\begin{align*} 1A(X)-XB(X) &=-2X-8\\ 2XA(X)+(-2X^2+1)B(X) &=-16X-1 \end{align*} \right.

Effectuez ensuite la combinaison $-8L_1+L_2\comma$ qui élimine $X$ dans le membre de droite, cela fournit :

(2X-8)A(X)+(-2X^2+8X+1)B(X) = 63.

Vous évaluez cette expression pour $X=\alpha\comma$ ce qui fournit :

(-2\alpha^2+8\alpha+1)B(\alpha) = 63.

Au passage, vous constatez que $B(\alpha)$ est non nul et que :

\frac{63}{4\alpha^2-1} = -2\alpha^2+8\alpha+1.

Ainsi :

\frac{63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} = (\alpha^3+1)(-2\alpha^2+8\alpha+1).

Vous multipliez la relation précédente par $4\comma$ ce qui donne :

\begin{align*} \dfrac{4\times 63(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &= (4\alpha^3+4)(-2\alpha^2+8\alpha+1) \\ &=(3\alpha+12)(-2\alpha^2+8\alpha+1)\\ &=-6\alpha^3+24\alpha^2+3\alpha-24\alpha^2+96\alpha+12\\ &=-6\alpha^3+99\alpha+12. \end{align*}

Vous divisez maintenant par $3\comma$ d’où :

\frac{4\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =-2\alpha^3+33\alpha+4.

Vous multipliez le tout par $2$ et poursuivez :

\begin{align*} \frac{8\times 21(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} &=-4\alpha^3+66\alpha+8\\ &= -3\alpha-8+66\alpha+8\\ &=63\alpha. \end{align*}

Vous divisez le tout par $21$ et terminez le calcul :

\frac{8(\alpha^3+1)}{4\alpha^2-1} =3\alpha.

Finalement :

\boxed{\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1} =\dfrac{3\alpha}{8}.}