Soit $\K$ un corps commutatif. Soit $\L$ un corps commutatif contenant $\K.$ Un élément $\alpha\in \L$ est dit algébrique sur $\K\comma$ si et seulement si, il existe un polynôme $P$ à coefficients dans $\K\comma$ non constant, tel que $P(\alpha)=0.$

Explicitez la notion de polynôme irréductible

Un polynôme $A$ de $\K[X]$ est dit irréductible sur $\K\comma$ si et seulement si, il n’est pas constant et pour tout polynôme $B\in\K[X]\comma$ si $B$ divise $A\comma$ alors il existe un élément $\lambda$ non nul de $\K$ tel que $B = \lambda A$ ou $B = \lambda.$

Pour tout polynôme $A$ de $\K[X]$ et pour tout polynôme $B$ de $\K[X]\comma$ on dit que $B$ est un associé de $A\comma$ si et seulement si, il existe $\lambda\in\K$ non nul, tel que $B=\lambda A.$

Avec cette notion de polynôme associé, vous obtenez ce qui suit. Un polynôme $A$ de $\K[X]$ est irréductible sur $\K\comma$ si et seulement si, $A$ n’est pas constant et pour tout diviseur $B\in\K[X]\comma$ si $B$ divise $A\comma$ alors $B$ est un polynôme constant non nul, ou un associé de $A.$

Démontrez qu’il existe un polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule $\alpha$

Vous considérez l’ensemble $E$ défini par l’ensemble des entiers naturels $n$ non nuls, tels qu’il existe un polynôme $Q\in\K[X]$ qui soit unitaire, de degré $n$ et admette $\alpha$ pour racine.

Vous notez $c$ le coefficient dominant du polynôme $P.$ Comme $c$ n’est pas nul, vous considérez le polynôme $P_0 = \frac{1}{c}P.$ Alors $\deg P_0\in E.$

L’ensemble $E$ est non vide. Comme $E\subset \NN\comma$ vous notez $m\geq 1$ le plus petit élément de $E.$ Il existe ainsi un polynôme $Q\in\K[X]$ unitaire, de degré $m\geq 1\comma$ tel que $Q(\alpha)=0.$ Il reste à montrer que $Q$ est irréductible sur $\K.$

Démontrez un lemme

Vous allez montrer que, si $B$ est un diviseur de $Q$ dans $\K[X]$ tel que $B(\alpha)=0\comma$ alors $B$ et $Q$ sont associés.

Preuve du lemme. Soit $B$ un diviseur de $Q$ dans $\K[X]\comma$ tel que $B(\alpha)=0.$ Il existe $C\in\K[X]$ tel que $Q(X)=B(X)C(X).$

Si $B$ était constant, vous auriez $B(X)=B(\alpha)=0$ et $Q(X)=B(X)C(X)=0\comma$ contradiction avec le fait que $Q$ est unitaire. Donc $B$ n’est pas constant. Notez $b\neq 0$ le coefficient dominant de $B$ et considérez le polynôme $B_0 = \frac{1}{b}B.$

Comme $\deg B_0 = \deg B\comma$ vous constatez que $B_0$ est unitaire, annule $\alpha$ et a un degré supérieur ou égal à $1.$ Donc $\deg B_0\in E.$ Il s’ensuit que, par minimalité de $m\comma$ $m\leq \deg B_0.$ Comme $\deg B_0 = \deg B\comma$ vous avez $m\leq \deg B.$ Comme $B$ divise $Q\comma$ $\deg B \leq m$ donc $\deg B = m.$ $Q$ et $B$ ayant le même degré, l’égalité $\deg Q = \deg B + \deg C$ impose $\deg C = 0$ et le polynôme $C$ est constant. Cette constante est non nulle sinon $Q$ serait nul. Par conséquent, il existe $\mu \in \K^{*}$ tel que $C(X)=\mu\comma$ d’où $Q(x)=\mu B(X)$ et vous obtenez $B(X)=\frac{1}{\mu}Q(X)$. Le lemme est démontré.

Montrez que $Q$ est irréductible sur $\K$

Remarquez que $Q$ est de degré supérieur ou égal à $1.$ Notez $B\in \K[X]$ un diviseur de $Q.$ Il existe un polynôme $C\in\K[X]$ tel que $Q(X)=B(X)C(X).$ Supposez que $B(\alpha)=0.$ Par application du lemme à $B\comma$ $B$ est associé à $Q.$ Supposez maintenant que $B(\alpha)\neq 0$. Posez $\lambda = B(\alpha)\comma$ avec $\lambda\in\K^{*}.$ Comme $Q(\alpha)=0=B(\alpha)C(\alpha)\comma$ vous avez $C(\alpha)=0.$ Comme $C$ est un diviseur de $Q$ dans $\K[X]\comma$ par application du lemme à $C\comma$ vous déduisez que $C$ et $Q$ sont associés. Ils ont le même degré. Ainsi, $B$ est constant, donc $B(X)=\lambda.$

Prouvez le fait qu’il n’existe qu’un seul polynôme unitaire et irréductible de $\K[X]$ qui annule $\alpha$

Soient $R$ et $S$ deux polynômes unitaires et irréductibles sur $\K$ tels que $R(\alpha)=S(\alpha)=0.$

Notez $T$ le $\pgcd$ des deux polynômes $R$ et $S.$ Ce $\pgcd$ est le polynôme unitaire de plus haut degré divisant à la fois $R$ et $S.$ Par l’algorithme d’Euclide, vous avez que $T\in\K[X].$ Supposez que $T$ soit constant. D’après l’algorithme d’Euclide étendu, il existe deux polynômes $U$ et $V$ à coefficients dans $K\comma$ tels que $T(X)= U(X)R(X)+V(X)S(X).$ En évaluant cette relation avec $X=\alpha\comma$ vous avez $T(\alpha) = U(\alpha)\times 0 + V(\alpha)\times 0 = 0.$ Donc $T(X)=T(\alpha)=0.$ Comme $R$ est un multiple de $T\comma$ vous déduisez que $R$ est le polynôme nul. Or ceci contredit le fait que $R$ est unitaire.

Donc le polynôme $T$ n’est pas constant. Ainsi, $\deg T \geq 1.$ Comme $T$ est un diviseur de $R$ qui est irréductible sur $\K\comma$ $T$ est associé à $R$. Comme $T$ et $R$ sont unitaires, $T=R.$ De même, comme $T$ est un diviseur de $S$ qui est irréductible sur $\K\comma$ $T$ et $S$ sont associés. Ils sont unitaires donc $T=S.$

Finalement $R=T=S.$ L’unicité est démontrée.

Explicitez tous les polynômes de $\K[X]$ qui annulent $\alpha$

Soit $A$ un polynôme de $\K[X]$ qui annule $\alpha.$ Notez $\Pi$ l’unique polynôme unitaire et irréductible sur $\K$ qui annule $\alpha.$

Notez $B$ le PGCD des polynômes $\Pi$ et $A.$ Alors $B\in\K[X].$ Il existe deux polynômes $U$ et $V$ de $\K[X]$ tels que $B = UA+V\Pi$. En substituant $\alpha\comma$ vous trouvez $B(\alpha)=0.$ Or, $B$ divise $\Pi$ qui est irréductible. Si $B$ est constant alors il est identiquement nul, donc $\Pi$ est nul, contradiction avec le fait que $\Pi$ est unitaire. Donc $B$ n’est pas constant. Il est donc associé à $\Pi$. Comme $B$ divise $A$ et que $B$ et $\Pi$ sont associés, $\Pi$ divise $A.$

Réciproquement, si $A$ est un polynôme à coefficients dans $\K$ et que $\Pi$ divise $A\comma$ alors comme $\Pi(\alpha) = 0\comma$ vous avez aussi $A(\alpha)=0.$

En définitive, un polynôme à coefficients dans $\K$ admet $\alpha$ pour racine, si et seulement si, le polynôme $\Pi$ divise $A.$

Explicitez une propriété des polynômes à coefficients dans $\K$ qui n’annulent pas $\alpha$

Soit $Q$ un polynôme à coefficients dans $\K$ tel que $Q(\alpha)\neq 0.$ Vous allez montrer que $\frac{1}{Q(\alpha)}$ s’exprime comme un polynôme en $\alpha.$

Effectuez, par l’algorithme d’Euclide étendu, le calcul du $\pgcd$ des polynômes $\Pi$ et $Q\comma$ que vous notez $R$. Il existe deux polynômes $U$ et $V$ à coefficients dans $\K$ tels que $R(X) = U(X)\Pi(X) + V(X)Q(X).$ Le polynôme $R$ divise $\Pi$ qui est irréductible.

Supposez que les polynômes $R$ et $\Pi$ soient associés. Comme $R$ divise $Q$ et comme $R$ et $\Pi$ sont associés, vous déduisez que $\Pi$ divise $Q.$ Comme $\Pi(\alpha)=0$ vous avez $Q(\alpha)=0\comma$ ce qui est une contradiction.

Donc $R$ est un polynôme constant et non nul. Comme c’est un $\pgcd\comma$ il est unitaire, donc $R(X)=1.$ Du coup, vous avez $U(X)\Pi(X)+V(X)Q(X)=1.$ En procédant à évaluation de $X$ en $\alpha\comma$ il vient $1 = V(\alpha)Q(\alpha)\comma$ puisque $\Pi(\alpha)$ est nul. Du coup, $\frac{1}{Q(\alpha)} = V(\alpha)\comma$ ce qui prouve le résultat annoncé.