Soient $n$ un entier naturel non nul, $\K$ un corps commutatif et $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans $\K.$

La notation $M_{n,1}(\K)$ désigne l’ensemble des matrices comportant $n$ lignes et une seule colonne, à coefficients dans $\K.$

Il existe un unique polynôme unitaire de $\K[X]\comma$ de degré minimal, noté $\Pi\comma$ tel que $\Pi(A)=0.$

Le but de cet article consiste à donner une méthode générale permettant de calculer le polynôme $\Pi.$

Une théorie est exposée, puis un exemple détaillé s’ensuit.

Le polynôme minimal d’un vecteur relatif à la matrice $A$

Pour tout vecteur $x\in M_{n,1}(\K)$ non nul, il existe un unique polynôme $P_x$ unitaire et de degré minimal tel que $P_x(A)x = 0\comma$ qui est appelé polynôme minimal de $A$ en $x.$

Une première information sur $\Pi$ est donnée par le théorème suivant.

Pour tout vecteur $x\in M_{n,1}(\K)$ non nul, le polynôme minimal de $x$ relatif à la matrice $A\comma$ noté $P_x\comma$ divise le polynôme minimal $\Pi$ de la matrice $A.$

Soit $(e_1,…,e_n)$ une base de $M_{n,1}(\K).$ D’après ce qui précède :

Vous notez $Q = \ppcm(P_{e_1},\dots,P_{e_n}).$ Alors $Q\mid \Pi.$

Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket.$ Vous avez $P_{e_i}(A)e_i=0.$ Comme $Q$ est un multiple de $P_{e_i}$ vous avez $Q(A)e_i=0.$

Soit $x$ un vecteur de $M_{n,1}(\K).$ Il existe $(a_1,…,a_n)\in\K^n$ tel que $x=\sum_{k=1}^n a_ie_i.$ Par linéarité, $Q(A)x = \sum_{k=1}^n a_i Q(A)e_i.$ Donc $Q(A)x = 0.$

En prenant pour $x$ les vecteurs de la base canonique de $M_{n,1}(\K)$ vous déduisez que toutes les colonnes de la matrice $Q(A)$ sont nulles, donc $Q(A)=0.$ Comme $Q$ est un polynôme de $\K[X]$ qui annule la matrice $A\comma$ vous déduisez $\Pi \mid Q.$

Il est ainsi démontré que :

Déterminez le polynôme minimal d’une matrice réelle sur un exemple

Considérez la matrice réelle définie par :

Vous posez $e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$ et vous cherchez $P_{e_1}\comma$ le polynôme minimal de $e_1$ relatif à la matrice $A.$

Vous avez :

La famille $(e_1, Ae_1)$ étant libre, vous poursuivez :

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. Vous obtenez :

Si $A^2e_1 = \alpha Ae_1 + \beta e_1\comma$ alors $2\alpha = -1$ et $-3\alpha = -3$ d’où $\alpha=\frac{-1}{2}$ et $\alpha = 1\comma$ contradiction.

Donc la famille $(e_1, Ae_1, A^2e_1)$ est libre. Vous continuez :

Soient $\alpha\comma$ $\beta$ et $\gamma$ trois nombres réels. Vous obtenez :

Vous résolvez le système suivant :

L’opération $L_3 \leftarrow L_3-3L_2$ fournit comme système équivalent au précédent :

Du coup :

Soit :

Ainsi $A^3e_1 = 3A^2e_1-4e_1.$ Vous avez obtenu :

De même, en posant $e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\comma$ il vient :

Puis, en posant $e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\comma$ il vient :

Enfin, en posant $e_4 = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\comma$ il vient :

Ainsi, l’écriture en produit de facteurs irréductibles des polynômes $P_{e_1}\comma$ $P_{e_2}\comma$ $P_{e_3}$ et $P_{e_4}$ fournit :