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098. Calcul de $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$

Le problème de l’intégrale impropre

Remarquez déjà que, pour tout réel $x$,

$\begin{align*}
\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x+ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\
&=\sqrt{2} \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \\
&= \sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)
\end{align*}$

Il apparaît donc que, quand $x \to -\frac{\pi}{4}$, que $\sin x + \cos x \to 0$ et le logarithme de $0$ n’est pas défini. Du coup, vous travaillerez avec des intégrales bien définies où l’intérieur du logarithme est toujours strictement positif. Cela conduit au paragraphe suivant.

Les propriétés de l’intégrale $I_\varepsilon$

Pour tout réel $\varepsilon \in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ considérez, $I_\varepsilon =\displaystyle \int_{-\pi/4+\varepsilon}^{\pi/4} \ln \left(\sin x + \cos x \right) \mathrm{d}x = \int_{-\pi/4+\varepsilon}^{\pi/4} \ln \left(\sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \mathrm{d}x.$

Via le changement de variable $y = x+\frac{\pi}{4}$, il apparaît que $I_\varepsilon =\displaystyle\int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sqrt{2} \sin y) \mathrm{d}y. $

Effectuez une première séparation.

$\begin{align*}
I_{\varepsilon} &= \displaystyle\int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sqrt{2} \sin y) \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle\int_{\varepsilon}^{\pi/2}\left( \ln \sqrt{2} + \ln (\sin y) \right) \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle\int_{\varepsilon}^{\pi/2} (\ln \sqrt{2}) \mathrm{d}y + \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle (\ln \sqrt{2}) \int_{\varepsilon}^{\pi/2}\mathrm{d}y + \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle \left(\dfrac{\pi}{2}-\varepsilon \right) (\ln \sqrt{2}) + \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y. \\
\end{align*}$

Vers le calcul de $J = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y$

Pour tout réel $\varepsilon \in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$, posez $J_\varepsilon =\displaystyle \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y. $

Définissez une fonction $g$ sur $\R$ en posant $g(0)=1$ et, pour tout réel $y$ non nul, $g(y)=\dfrac{\sin y}{y}$. Cette fonction $g$ est continue sur $\R$.

Notez que pour tout réel $y> 0$ :

$\begin{align*}
\ln(\sin y) &= \ln \left(y \times\dfrac{\sin y}{y}\right) \\
&= \ln y + \ln g(y).
\end{align*}$

Par composée de fonctions continues, la fonction $y\mapsto \ln g(y)$ est continue sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ donc elle est intégrable sur $[0,\frac{\pi}{2}]$.

La fonction $y\mapsto \ln y$ admet pour primitive $y\mapsto y\ln y -y$ sur $]0,+\infty[$ et cette primitive a bien une limite quand $y\to 0$ donc la fonction $y\mapsto \ln y$ est intégrable sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right].$

Par somme de fonctions intégrables, il en résulte que $J = \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y$ est bien définie et que $\lim_{\varepsilon \to 0} J_\varepsilon = J.$

Vous allez vous focaliser sur cette intégrale. L’idée principale c’est de construire une équation la faisant réapparaître plusieurs fois.

Vous pouvez utiliser l’égalité : $\forall y\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-y\right) = \sin y.$

Vous effectuez le changement de variable $z = \frac{\pi}{2}-y$ :

$\begin{align*}
J_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y \\
&= \ – \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{0} \ln (\cos z) \mathrm{d}z\\
&= \int_{0}^{\pi/2 – \varepsilon} \ln (\cos z) \mathrm{d}z\\
\end{align*}$

Maintenant, vous sommez les deux expressions pour $\varepsilon \in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right].$

$\begin{align*}
2J_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{\pi/2 – \varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x \\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x + \int_{\varepsilon}^{\pi/2 – \varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x \\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \mathrm{d}x + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x.
\end{align*}$

Notez que la fonction $x\mapsto \ln(\cos x)$ est continue au voisinage de $0$, par conséquent $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x = 0.$

De même, la fonction $x\mapsto \ln(\sin x)$ est continue au voisinage de $\dfrac{\pi}{2}$, par conséquent $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x = 0.$

Vers le calcul de $\displaystyle \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \mathrm{d}x$

Pour tout réel $\varepsilon \in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right]$, posez $K_\varepsilon = \displaystyle \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \mathrm{d}x.$

$\begin{align*}
K_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \mathrm{d}x\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln \left(\sin x \cos x\right) \mathrm{d}x\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln \left(\dfrac{2 \sin x \cos x}{2}\right) \mathrm{d}x\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln \left(\dfrac{\sin (2x)}{2}\right) \mathrm{d}x\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \left[\ln (\sin (2x)) – \ln2 \right] \mathrm{d}x\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln (\sin (2x)) \mathrm{d}x \ – (\ln2)\int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \mathrm{d}x\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln (\sin (2x)) \mathrm{d}x -\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\dfrac{1}{2}\int_{2\varepsilon}^{\pi-2\varepsilon} \ln (\sin y) \mathrm{d}y -\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\dfrac{1}{2}\int_{2\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \mathrm{d}y + \dfrac{1}{2}\int_{\pi/2}^{\pi-2\varepsilon} \ln (\sin y) \mathrm{d}y -\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\dfrac{1}{2}J_{2\varepsilon}+ \dfrac{1}{2}\int_{\pi/2}^{\pi-2\varepsilon} \ln (\sin y) \mathrm{d}y -\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\dfrac{1}{2}J_{2\varepsilon}+ \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2-2\varepsilon} \ln \left(\sin \left(z+\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \mathrm{d}z -\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\dfrac{1}{2}J_{2\varepsilon}+ \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2-2\varepsilon} \ln (\cos z) \mathrm{d}z -\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&= \dfrac{1}{2}J_{2\varepsilon} + \dfrac{1}{2}J_{2\varepsilon}-\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=J_{2\varepsilon}-\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2).
\end{align*}$

Concluez

$\begin{align*}
2J_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \mathrm{d}x + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x\\
&= K_\varepsilon + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x \\
&=J_{2\varepsilon}-\left(\dfrac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2) + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \mathrm{d}x.
\end{align*}$

Maintenant passez à la limite quand $\varepsilon \to 0.$

$2J = J – \dfrac{\pi}{2} (\ln2).$

Donc $J = \dfrac{-\pi \ln 2}{2}.$

On a vu que :

$I_{\varepsilon} = J_\varepsilon + \left(\dfrac{\pi}{2}-\varepsilon \right) (\ln \sqrt{2}).$

Le membre de droite admet une limite quand $\varepsilon\to 0$, donc le membre de gauche aussi.

L’intégrale $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$ est donc bien définie et on a le résultat :

$\begin{align*}
\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x &= J + \dfrac{\pi}{2}(\ln \sqrt{2}) \\
&=\dfrac{-\pi \ln 2}{2} + \dfrac{\pi \ln 2}{4}\\
&=\dfrac{-\pi \ln 2}{4}.
\end{align*}$

Conclusion : $\boxed{\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x = \dfrac{-\pi \ln 2}{4}}.$

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