L’objectif de cet article est de proposer une démarche permettant de justifier l’existence de l’intégrale suivante et de la calculer :
I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \dx.
Explicitez un problème relatif à cette intégrale, qui est impropre
Remarquez déjà que, pour tout réel $x\comma$ vous avez :
\begin{align*}
\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\
&=\sqrt{2} \left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) \\
&= \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right).
\end{align*}
Il apparaît donc que, quand $x \to -\frac{\pi}{4}\comma$ vous avez $\sin x + \cos x \to 0.$ Or, le logarithme de $0$ n’est pas défini. Du coup, vous utiliserez dans la suite des intégrales qui comportent un logarithme dont l’intérieur est toujours strictement positif. Cela conduit à traiter les notions du paragraphe suivant.
Étudiez les propriétés de l’intégrale $I_{\varepsilon}$
Pour tout réel $\varepsilon \in \left]0,\frac{\pi}{4}\right]\comma$ vous considérez l’intégrale $I_\varepsilon$ définie par :
\int_{-\pi/4+\varepsilon}^{\pi/4} \ln \left(\sin x + \cos x \right) \dx = \int_{-\pi/4+\varepsilon}^{\pi/4} \ln \left(\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right) \dx.
Via le changement de variable $y = x+\frac{\pi}{4}\comma$ il apparaît que :
I_\varepsilon =\int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sqrt{2} \sin y) \dy.
Vous effectuez une première séparation, valable pour tout $\varepsilon \in \left] 0, \frac{\pi}{4}\right]\comma$ comme suit :
\begin{align*}
I_{\varepsilon} &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sqrt{2} \sin y) \dy \\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2}\left( \ln \sqrt{2} + \ln (\sin y) \right) \dy \\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2} (\ln \sqrt{2}) \dy + \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \dy \\
&= (\ln \sqrt{2}) \int_{\varepsilon}^{\pi/2}\dy + \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y)\dy \\
&= \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon \right) (\ln \sqrt{2}) + \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \dy.
\end{align*}
Calculez l’integrale $J = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin y)\dy$
Pour tout réel $\varepsilon \in \left]0,\frac{\pi}{2}\right]\comma$ vous posez :
J_\varepsilon =\int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \dy.
Définissez une fonction $g$ sur $\R$ en posant $g(0)=1$ et, pour tout réel $y$ non nul, $g(y)=\frac{\sin y}{y}.$ Cette fonction $g$ est continue sur $\R.$
Notez que pour tout réel $y\gt 0\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
\ln(\sin y) &= \ln \left(y \times\frac{\sin y}{y}\right) \\
&= \ln y + \ln g(y).
\end{align*}
Par composée de fonctions continues, la fonction $y\mapsto \ln g(y)$ est continue sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ donc elle est intégrable sur $[0,\frac{\pi}{2}].$
La fonction $y\mapsto \ln y$ admet pour primitive $y\mapsto y\ln y -y$ sur $]0,+\infty[$ et cette primitive a bien une limite quand $y\to 0$ donc la fonction $y\mapsto \ln y$ est intégrable sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$
Par somme de fonctions intégrables, il en résulte que l’intégrale $J = \int_{0}^{\pi/2} \ln (\sin y) \dy$ est bien définie et que $\lim_{\varepsilon \to 0} J_\varepsilon = J.$
Vous allez vous focaliser sur cette intégrale. L’idée principale consiste à construire une équation qui la fait apparaître plusieurs fois.
Vous pouvez utiliser ce qui suit :
\forall y\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right], \cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right) = \sin y.
Vous effectuez le changement de variable $z = \frac{\pi}{2}-y\comma$ d’où :
\begin{align*}
J_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \dy\\
&= \ – \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{0} \ln (\cos z) \dz\\
&= \int_{0}^{\pi/2 – \varepsilon} \ln (\cos z) \dz.
\end{align*}
Maintenant, vous sommez les deux expressions pour $\varepsilon \in \left]0,\frac{\pi}{4}\right].$ Il vient :
\begin{align*}
2J_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx + \int_{0}^{\pi/2 – \varepsilon} \ln (\cos x) \dx \\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln (\sin x) \dx + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx\\
&\quad + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \dx + \int_{\varepsilon}^{\pi/2 – \varepsilon} \ln (\cos x) \dx\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \dx \\
&\quad + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \dx.
\end{align*}
Notez que la fonction $x\mapsto \ln(\cos x)$ est continue au voisinage de $0\comma$ par conséquent $\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \dx = 0.$
De même, la fonction $x\mapsto \ln(\sin x)$ est continue au voisinage de $\frac{\pi}{2}\comma$ par conséquent $\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx = 0.$
Calculez l’integrale $\int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \left[\ln (\sin x)+\ln(\cos)\right] \dx$
Pour tout réel $\varepsilon \in \left]0,\frac{\pi}{4}\right]\comma$ vous posez :
K_\varepsilon = \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \dx.
Vous obtenez :
\begin{align*}
K_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \dx\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln \left(\sin x \cos x\right) \dx \\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln \left(\frac{2 \sin x \cos x}{2}\right) \dx\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln \left(\frac{\sin (2x)}{2}\right) \dx\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \left[\ln (\sin (2x)) – \ln2 \right] \dx\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln (\sin (2x)) \dx \ – (\ln2)\int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \dx\\
&= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon} \ln (\sin (2x)) \dx -\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\frac{1}{2}\int_{2\varepsilon}^{\pi-2\varepsilon} \ln (\sin y) \dy -\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\frac{1}{2}\int_{2\varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin y) \dy + \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{\pi-2\varepsilon} \ln (\sin y) \dy -\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\frac{1}{2}J_{2\varepsilon}+ \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{\pi-2\varepsilon} \ln (\sin y) \dy -\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\frac{1}{2}J_{2\varepsilon}+ \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2-2\varepsilon} \ln \left(\sin \left(z+\frac{\pi}{2}\right)\right) \dz -\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=\frac{1}{2}J_{2\varepsilon}+ \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2-2\varepsilon} \ln (\cos z) \dz -\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&= \frac{1}{2}J_{2\varepsilon} + \frac{1}{2}J_{2\varepsilon}-\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2)\\
&=J_{2\varepsilon}-\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2).
\end{align*}
Concluez
Ainsi, pour tout $\varepsilon\in \left]0, \frac{\pi}{3}\right]\comma$ vous avez :
\begin{align*}
2J_\varepsilon &= \int_{\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}\left[ \ln (\sin x) + \ln (\cos x)\right] \dx \\
&\quad + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \dx\\
&= K_\varepsilon + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \dx \\
&=J_{2\varepsilon}-\left(\frac{\pi}{2}-2\varepsilon\right) (\ln2) + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \ln (\sin x) \dx + \int_{0}^{\varepsilon} \ln (\cos x) \dx.
\end{align*}
Maintenant, passez à la limite quand $\varepsilon \to 0.$ Cela fournit :
2J = J – \frac{\pi}{2} (\ln2).
Donc $J = \frac{-\pi \ln 2}{2}.$
Or, il a été vu que pour tout $\varepsilon \in \left] 0, \frac{\pi}{4}\right]\comma$ vous avez :
$I_{\varepsilon} = J_\varepsilon + \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon \right) (\ln \sqrt{2}).$
Le membre de droite admet une limite quand $\varepsilon\to 0$, donc le membre de gauche aussi.
L’intégrale $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \dx$ est donc bien définie et vous avez a le résultat suivant :
\begin{align*}
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \dx &= J + \frac{\pi}{2}(\ln \sqrt{2}) \\
&=\frac{-\pi \ln 2}{2} + \frac{\pi \ln 2}{4}\\
&=\frac{-\pi \ln 2}{4}.
\end{align*}
En définitive :
\boxed{\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \dx = \frac{-\pi \ln 2}{4}.}
