101. Décomposez une fraction rationnelle réelle en éléments simples (partie 1/5)

Pour comprendre le principe général et trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F(X)$ définie par $F(X)=\frac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}$ dans $\R(X)\comma$ vous pouvez utiliser le théorème de Bezout et la division euclidienne.

Le théorème de Bezout va vous permettre de séparer toutes les parties polaires. La division euclidienne va vous permettre de décomposer en éléments simples les dénominateurs irréductibles restants, c’est-à-dire toutes les fractions rationnelles de la forme $\frac{A(X)}{R(X)^n}$ où $R$ est un polynôme réel irréductible (de degré 1 ou de degré 2 avec un discriminant strictement négatif).

Séparez les parties polaires avec le théorème de Bezout

Examinez le dénominateur de la fraction rationnelle $F(X).$ Elle est composée de deux polynômes irréductibles, le premier est $P_1(X)=X$ et le second est $P_2(X) = X^2+X+1.$ Comme ces deux polynômes sont premiers entre eux, il en résulte que $P_1(X)^2$ et $P_2(X)^2$ le sont aussi.

Il existe donc d’après le théorème de Bezout deux polynômes réels $A(X)$ et $B(X)$ tels que $1 = A(X)P_1(X)^2+B(X)P_2(X)^2.$ Vous divisez le tout par $P_1(X)^2P_2(X)^2$ et vous obtenez $\frac{1}{X^2(X^2+X+1)^2} = \frac{B(X)}{X^2}+\frac{A(X)}{(X^2+X+1)^2}.$ Puis, vous multipliez le tout par le numérateur de la fraction rationnelle $F(X)\comma$ pour obtenir la séparation voulue des parties polaires :

F(X)= \frac{(X^4+1)B(X)}{X^2}+\frac{(X^4+1)A(X)}{(X^2+X+1)^2}.

Utilisez les outils permettant de trouver les polynômes intervenant dans le théorème de Bezout

L’idée majeure c’est que, les polynômes $P_1(X)^2$ et $P_2(X)^2$ s’écrivent comme une combinaison des polynômes $Q_1(X)=P_1(X)^2$ et $Q_2(X)=P_2(X)^2.$ Ainsi, vous avez :

\begin{align*} X^2 &= 1\cdot Q_1(X)+0\cdot Q_2(X)\\ (X^2+X+1)^2 &= 0\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Vous allez diminuer le degré des polynômes du membre de gauche jusqu’à obtenir le polynôme constant $1.$ En effet, en développant :

\begin{align*} X^2 &= 1\cdot Q_1(X)+0\cdot Q_2(X)\\ X^4+2X^3+3X^2+2X+1 &= 0\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2-X^2L_1.$ Il vient :

\begin{align*} X^2 &= 1\cdot Q_1(X)+0\cdot Q_2(X)\\ 2X^3+3X^2+2X+1 &= -X^2\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Puis, vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2-2XL_1.$ Cela fournit :

\begin{align*} X^2 &= 1\cdot Q_1(X)+0\cdot Q_2(X)\\ 3X^2+2X+1 &= (-X^2-2X)\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Puis, vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2-3L_1.$ Du coup :

\begin{align*} X^2 &= 1\cdot Q_1(X)+0\cdot Q_2(X)\\ 2X+1 &= (-X^2-2X-3)\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Puis, vous effectuez l’opération élémentaire $L_1\longleftarrow 2L_1.$ Vous avez :

\begin{align*} 2X^2 &= 2\cdot Q_1(X)+0\cdot Q_2(X)\\ 2X+1 &= (-X^2-2X-3)\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Puis, vous effectuez l’opération élémentaire $L_1\longleftarrow L_1-XL_2.$ Ainsi :

\begin{align*} -X &= (X^3+2X^2+3X+2)\cdot Q_1(X)-X\cdot Q_2(X)\\ 2X+1 &= (-X^2-2X-3)\cdot Q_1(X)+1\cdot Q_2(X). \end{align*}

Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2+2L_1.$

Et enfin vous trouvez la relation fondamentale de Bezout :

\begin{align*} 1 &= (2X^3+3X^2+4X+1)Q_1(X)+(1-2X)Q_2(X)\\ 1 &= (2X^3+3X^2+4X+1)X^2+(1-2X)(X^2+X+1)^2. \end{align*}

Divisez le tout dans $\R(X)$ par le produit $X^2(X^2+X+1)^2$ pour obtenir :

{\frac{1}{X^2(X^2+X+1)^2}} =\frac{1-2X}{X^2}+\frac{2X^3+3X^2+4X+1}{(X^2+X+1)^2}.

Après multiplication par $X^4+1\comma$ vous obtenez la séparation des parties polaires :

\boxed{\frac{X^4 +1}{X^2(X^2+X+1^2)} = \frac{(1-2X)(X^4+1)}{X^2} + \frac{(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1)}{(X^2+X+1)^2}.}

La première partie est terminée. Maintenant, vous passez au traitement de chaque partie polaire, car le degré du numérateur est trop important par rapport à celui du dénominateur

Traitez la partie polaire suivante : $\frac{(1-2X)(X^4+1)}{X^2}$

Vous développez le polynôme $(1-2X)(X^4+1)\comma$ puis vous divisez chaque terme par $X^2.$ Cela donne :

\begin{align*} (1-2X)(X^4+1) &= X^4+1-2X^5-2X\\ &=-2X^5+X^4-2X+1. \end{align*}

Du coup :

\boxed{\frac{(1-2X)(X^4+1)}{X^2} = -2X^3+X^2-\frac{2}{X} + \frac{1}{X^2}}.

Traitez la partie polaire suivante : $\frac{(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1)}{(X^2+X+1)^2}$

D’abord, vous développez le polynôme $(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1).$ Puis, vous effectuez deux divisions euclidiennes successives par le polynôme $X^2+X+1.$ Ainsi :

\begin{align*} (X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1) &= 2X^7+3X^6+4X^5+X^4\\ &\quad+2X^3+3X^2+4X+1. \end{align*}

Vous effectuez une première division euclidienne :

\begin{array}{r|l} 2X^7+3X^6+4X^5+X^4+2X^3+3X^2+4X+1 & \underline{X^2+X+1}\\ \underline{2X^7+2X^6+2X^5} & 2X^5+X^4\\ X^6+2X^5+X^4+2X^3+3X^2+4X+1 & +X^3-X^2\\ \underline{X^6+X^5+X^4}& +2X+2\\ X^5+2X^3+3X^2+4X+1\\ \underline{X^5+X^4+X^3}\\ -X^4+X^3+3X^2+4X+1\\ \underline{-X^4-X^3-X^2}\\ 2X^3+4X^2+4X+1\\ \underline{2X^3+2X^2+2X}\\ 2X^2+2X+1\\ \underline{2X^2+2X+2}\\ -1 \end{array}

Elle montre que :

\begin{align*} \frac{(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1)}{X^2+X+1} &= 2X^5+X^4+X^3-X^2+2X+2\\ &\qquad -\frac{1}{X^2+X+1}. \end{align*}

Vous effectuez une deuxième division euclidienne :

\begin{array}{r|l} 2X^5+X^4+X^3-X^2+2X+2 & \underline{X^2+X+1}\\ \underline{2X^5+2X^4+2X^3} & 2X^3-X^2\\ -X^4-X^3-X^2+2X+2\\ \underline{-X^4-X^3-X^2}\\ 2X+2 \end{array}

Elle montre que :

\boxed{ \begin{align*} \frac{(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1)}{(X^2+X+1)^2 } &= 2X^3-X^2 + \frac{2X+2}{X^2+X+1}\\ &\quad-\frac{1}{(X^2+X+1)^2}. \end{align*} }

Concluez avec la décomposition finale dans $\R(X)$

En additionnant les parties polaires, vous constatez que la partie entière obtenue est nulle : $(-2X^3+X^2) + (2X^3-X^2)=0\comma$ ce que vous pouviez prédire, puisque le degré du numérateur de $F(X)$ est strictement inférieur au degré de son dénominateur. Finalement :

\boxed{ \begin{align*} F(X)=\frac{X^4 +1}{X^2(X^2+X+1)^2} &= -\frac{2}{X} + \frac{1}{X^2} + \frac{2X+2}{X^2+X+1}\\ &\qquad-\frac{1}{(X^2+X+1)^2}. \end{align*} }