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102. Décomposition en éléments simples dans les réels (niveau2)

Au lieu de séparer d’un seul coup toutes les parties polaires, vous allez utiliser la division selon les puissances croissantes, qui va séparer une partie polaire des autres. La dernière partie polaire sera traitée avec la division euclidienne.

Utilisez la division selon les puissances croissantes

Reprenez la fraction rationnelle $F$ définie par $F(X)=\dfrac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}.$ Vous allez effectuer la division selon les puissances croissantes de $X^4+1$ par $(X^2+X+1)^2=X^4+2X^3+3X^2+2X+1.$

Vous effectuez cette division jusqu’à trouver un reste qui soit un multiple de $X^2.$

$\begin{array}{rrrrrr|ll}
1 & & & & +X^4 & & 1 &+2X+3X^2+2X^3+X^4 \\
1 & +2X & + 3X^2 & +2X^3 & +X^4 & & 1 &- 2X\\ \hline
& -2X & – 3X^2 & -2X^3 & \\
& -2X & -4X^2 & -6X^3 & -4X^4 & -2X^5 \\ \hline
& & X^2 & +4X^3 & +4X^4 & +2X^5
\end{array}
$

Obtenez une décomposition

Ecrivez le résultat obtenu par la division précédente, sous la forme $\text{dividende} = \text{quotient}\times \text{diviseur} + \text{reste}.$

$\begin{align*}
1+X^4 &= (1-2X)(X^2+X+1)^2+(X^2+4X^3+4X^4+2X^5)\\
&= (1-2X)(X^2+X+1)^2+X^2(1+4X+4X^2+2X^3).
\end{align*}$

Puis divisez cette relation par le produit $X^2(X^2+X+1)^2.$ Vous constatez que vous obtenez la partie polaire relative à $X^2.$

$\boxed{\begin{align*}
\dd F(X)&= {1-2X \over X^2} + {2X^3+4X^2+4X+1 \over (X^2+X+1)^2}\\
&=-{2 \over X} + {1 \over X^2} + {2X^3+4X^2+4X+1 \over (X^2+X+1)^2}.
\end{align*}}$

Traitez la dernière partie polaire

Effectuez une première division euclidienne.

$\begin{array}{rrrr|ll}
2X^3 & +4X^2 & +4X & +1 & X^2 &+X+1 \\
2X^3 & +2X^2 & +2X & & 2X &+ 2 \\ \hline
& 2X^2 & +2X & +1 \\
& 2X^2 & +2X & +2 \\ \hline
& & & -1
\end{array}$

Le calcul effectué montre que :

$2X^3+4X^2+4X+1 = (X^2+X+1)(2X+2) – 1.$

Vous constatez qu’il n’y a pas besoin d’effectuer une seconde division euclidienne par $X^2+X+1.$

En divisant par $(X^2+X+1)^2$ vous obtenez la partie polaire recherchée :

$\dd \boxed{{2X^3+4X^2+4X+1 \over (X^2+X+1)^2} = {2X+2 \over X^2+X+1} – { 1 \over (X^2+X+1)^2}}.$

Exprimez la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$

$\dd \boxed{F(X)={X^4+1 \over X^2(X^2+X+1)^2} =-{2 \over X} + {1 \over X^2} + {2X+2 \over X^2+X+1} – { 1 \over (X^2+X+1)^2}}.$

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