École AVOSZ

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111. Une équation différentielle du premier ordre à connaître

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Soit à résoudre l’équation différentielle $y’+y \sin x = \sin(2x).$

Résolvez l’équation homogène $y’+y\sin x = 0$

Procédez à l’analyse du problème

Soit $y$ une fonction définie sur $\R$ et dérivable sur $\R\comma$ telle que $\forall x\in\R, y'(x)+y(x)\sin x = 0.$

Considérez la fonction $f$ définie par $\forall x\in\R, f(x) = y(x)\e^{-\cos x}.$

Par produit de fonctions dérivables sur $\R\comma$ $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} f'(x) &= y'(x) \e^{-\cos x} + y(x)\sin x \e^{-\cos x} \\ &= \left(y'(x)+y(x)\sin x\right)\e^{-\cos x}\\ &= 0\times \e^{-\cos x}\\ &= 0. \end{align*}

La fonction $f$ est constante, il existe un réel $A\in\R$ tel que $\forall x\in\R, A = y(x)\e^{-\cos x}$ et $y(x) = A\e^{\cos x}.$

Procédez à la synthèse

Soit $A$ un réel fixé. Pour tout $x\in\R\comma$ posez $y(x) = A\e^{\cos x}.$ La fonction $y$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

y'(x)+y(x)\sin x = -A \sin x \e^{\cos x}+ A\sin x \e^{\cos x}=0.

Concluez

L’équation homogène est complètement résolue.

Une fonction $y$ définie et dérivable sur $\R$ vérifie $y’+y\sin x = 0\comma$ si et seulement si, il existe un réel $A$ tel que, pour tout $x\in\R\comma$ $y(x) = A\e^{\cos x}.$

Trouvez une solution particulière de l’équation $y’+y\sin x = \sin(2x)$

Utilisez la méthode de variation des constantes

Vous entendez souvent : utilisez la méthode de variation de la constante. « Faire varier la constante » ? Paradoxale en apparence, cette idée signifie que vous allez chercher une solution de l’équation $y’+y\sin x = \sin (2x)$ sous la forme $y(x) = A(x)\e^{\cos x}\comma$ où $A$ sera une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont vous donnerez une expression plus tard.

En dérivant, vous obtenez $y'(x) = A'(x) \e^{\cos x} – A(x) \sin x \e^{\cos x}$ du coup $y'(x) = A'(x)\e^{\cos x} – y(x)\sin x$ et par suite $y'(x)+y(x)\sin x = A'(x)\e^{\cos x}.$

Comme $y$ doit être solution de l’équation, vous aboutissez à $\sin(2x)=A'(x)\e^{\cos x}$ puis à $A'(x) = \sin(2x)\e^{-\cos x}.$

Pour trouver une fonction $A$ qui satisfait cette condition, vous calculez une intégrale sans borne en effectuant un changement de variable $z=-\cos x\comma$ pour lequel $\dz = \sin x \dx.$ Il vient :

\begin{align*} \int \sin(2x)\e^{-\cos x}\dx &= 2 \int \sin x \cos x \e^{-\cos x}\dx\\ &= -2\int z \e^z \dz. \end{align*}

Cette dernière intégrale se calcule par une intégration par parties et fait apparaître une constante $C_1.$

\begin{align*} \int z \e^z \dz &= z\e^z – \int \e^z\dz\\ &= z\e^z – \e^z + C_1\\ &= (z-1)\e^z+C_1. \end{align*}

Vous revenez au calcul de la première intégrale et vous avez une constante $C_2.$

\begin{align*} \int \sin(2x)\e^{-\cos x}\dx &=-2 (z-1)\e^z-2C_1 \\ &= (2-2z)\e^z+C_2\\ &=(2+2\cos x)\e^{-\cos x}+C_2. \end{align*}

Vous avez besoin d’une solution particulière, vous choisissez $C_2 = 0$ et posez $A(x) = (2+2\cos x)\e^{-\cos x}$ et par suite $y(x) = A(x)\e^{\cos x} = 2+2\cos x$ semble être un très bon candidat de solution particulière.

Vérifiez que votre candidat convient

Pour tout réel $x\comma$ posez $y_T(x) = 2+2\cos x.$

y_T'(x)+y_T(x)\sin x = -2\sin x + 2\sin x + 2\sin x \cos x = \sin(2x).

Conclusion : la fonction $y_T$ définie sur $\R$ par $y_T(x) = 2+2\cos x$ est une solution particulière de l’équation différentielle $y’+y\sin x = \sin(2x).$

Concluez en trouvant toutes les solutions de l’équation différentielle $y’+y\sin x = \sin(2x)$

Une fonction $y$ est solution de cette équation, si et seulement si $y-y_T$ est solution de l’équation homogène $y’+y\sin x =0$ qui a déjà été traitée.

Par conséquent, une fonction $y$ définie et dérivable sur $\R$ est solution de l’équation différentielle $y’+y\sin x = \sin(2x)\comma$ si et seulement si, il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout $x\in\R\comma$ $y(x) = 2+2\cos x + A\e^{\cos x}.$