Votre navigateur n'accepte pas le Javascript. La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes

L’objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)=\mathrm{exp}(z+z’).$

Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$

Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C$, alors vous avez encore $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Admettez un instant ce résultat et voyez pourquoi il permet de conclure.

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes.

Partez de $\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z)$ et de $\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{z’}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z’).$

Par produit de limites, $\lim_{n\to+\infty} \left(\left(1 + \frac{z}{n}\right)\left(1+\frac{z’}{n}\right)\right)^n = \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’).$

Du coup, $\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{z+z’}{n}+\frac{zz’}{n^2}\right)^n = \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’).$

Ceci s’écrit encore $\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{z+z’+\frac{zz’}{n}}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’).$

Pour tout $n\in\NN$ posez $z_n = z+z’+\frac{zz’}{n}$, alors $\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’).$

Or, la suite $(z_n)_{n\in\NN}$ converge vers $z+z’$, donc $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z+z’).$

Par unicité de la limite, vous obtenez $\boxed{\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z+z’) = \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’).}$

Prouvez que si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C$, alors $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$

Soit $(z_n)_{n\in\NN}$ une suite de nombres complexes qui converge vers un nombre complexe $z.$

Vous allez montrer d’abord que la suite $\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n-\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ converge vers $0.$

Soit $\varepsilon > 0.$

Comme la suite $(z_n)_{n\in\NN}$ est convergente, elle est bornée. Il existe un réel $P>0$ tel que $\forall n\in\NN, \lvert z_n\rvert \leq P.$ Notez alors $M$ le maximum de $P$ et de $\lvert z\rvert.$ Notez que $\lim_{n\to+\infty} \frac{M^n}{n !}=0$ donc il existe un entier $N\geq 1$ tel que $\frac{M^N}{N ! } \leq \frac{\varepsilon}{8}.$

Soit maintenant $n$ un entier tel que $n\geq N.$

$\begin{align*}
\left\lvert\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n-\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\right\rvert &\leq \left\lvert \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{z_n^k-z^k}{n^k}\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \sum_{k=0}^{N-1} \binom{n}{k}\frac{z_n^k-z^k}{n^k}\right\rvert + \left\lvert \sum_{k=N}^{n} \binom{n}{k}\frac{z_n^k-z^k}{n^k}\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \sum_{k=0}^{N-1} \frac{n !}{(n-k) ! n^k}\frac{z_n^k-z^k}{k ! }\right\rvert + \left\lvert \sum_{k=N}^{n}\frac{n !}{(n-k) ! n^k}\frac{z_n^k-z^k}{k ! }\right\rvert \\
\end{align*}$

Or, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, $\frac{n !}{(n-k) ! n^k} \leq 1$ donc

$\begin{align*}
\left\lvert\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n-\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\right\rvert &\leq \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\left\lvert z_n^k-z^k\right\rvert}{k ! } + \sum_{k=N}^{n}\frac{\lvert z_n\rvert ^k+\lvert z\rvert ^k}{k ! }\\
&\leq \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\left\lvert z_n^k-z^k\right\rvert}{k ! } + 2 \sum_{k=N}^{n}\frac{M^k}{k ! } \\
&\leq \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\left\lvert z_n^k-z^k\right\rvert}{k ! } + 4 \frac{M^N}{N ! } \\
&\leq\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\left\lvert z_n^k-z^k\right\rvert}{k ! } + \frac{\varepsilon}{2}. \\
\end{align*}$

Or, pour tout $k$ compris entre $0$ et $N-1$, $\lim_{n\to +\infty} z_n^k-z^k = 0.$

Comme ce nombre de limites est en nombre fini, $\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\left\lvert z_n^k-z^k\right\rvert}{k ! } = 0.$ Donc il existe un entier $N’>N$ tel que $\forall n\geq N’, \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\left\lvert z_n^k-z^k\right\rvert}{k ! } \leq \frac{\varepsilon}{2}.$

Vous avez donc montré que $\forall \varepsilon > 0, \exists N’\geq 1, \forall n\geq N’, \left\lvert\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n-\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\right\rvert \leq \varepsilon.$

Autrement dit $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n-\left(1+\frac{z}{n}\right)^n = 0.$

Or, $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$

Ainsi, par somme de suites convergentes, vous constatez que la suite $\left(\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n\right)_{n\in\NN}$ est convergente et que sa limite est égale à $\mathrm{exp}(z).$

Le résultat $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z)$ est enfin prouvé.

Vers le morphisme de groupes

L’ensemble $\C$ muni de l’addition est un groupe, de même l’ensemble $\C^{*}$ muni de la multiplication est un groupe.

Il convient juste de justifier que $\forall z\in\C, \mathrm{exp}(z)\neq 0$.

Notez que $\mathrm{exp}(0) = \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{0}{n}\right)^n = 1.$

Soit $z\in\C$. Comme $z+(-z)=0$ il s’ensuit que $\mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(-z)=\mathrm{exp}(0)=1.$ Donc $\mathrm{exp}(z)\neq 0.$

Combiné au fait que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z+z’)=\mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)$ et que $\forall z\in\C, \mathrm{exp}(z) \in\C^{*}$, l’exponentielle complexe est un morphisme de groupes de $(\C,+)$ dans $(\C, \times).$

Prolongement

Pourriez-vous justifier que l’exponentielle complexe, qui va de $\C$ dans $\C^{*}$ est surjective ?

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.