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132. Diagonalisabilité d’une matrice

Cet article va étudier une matrice tirée du concours de l’Agrégation externe de mathématiques, session 2020.

Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/4 & 1/4 & 1/2 & 0\\
1/8 & 1/8 & 1/4 & 1/2\\
1/8 & 1/8 & 1/4 & 1/2
\end{pmatrix}.$

Déterminez la dimension du noyau de la matrice $A$

Avec le théorème du rang

Les 3 premières lignes de $A$ sont linéairement indépendantes.

En effet, soit $(a_1,a_2,a_3)\in\R^3$ tel que :

$a_1(1/2,1/2,0,0)+a_2(1/4,1/4,1/2,0)+a_3(1/8,1/8,1/4,1/2)=0.$

Alors :

$\begin{align*}
a_1/2+a_2/4+a_3/8 &= 0 \\
a_2/2+a_3/4 &=0\\
a_3/2 &=0.
\end{align*}$

Ce système est déjà échelonné, il fournit successivement $a_3=0$ puis $a_2=0$ et $a_1=0.$

Comme la ligne $4$ de $A$ est identique à la ligne $3$ de $A$, il en résulte que le rang de $A$ est égal à $3.$

Du coup, par le théorème du rang, la dimension du noyau de $A$ est égale à $1.$

Sans le théorème du rang

Il est aussi possible de déterminer une base du noyau de $A$ en résolvant un système linéaire.

Soit $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\R^4$ tel que $A\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = 0.$

Le système obtenu s’écrit avec 3 équations étant donné que les deux dernières sont identiques.

$\begin{align*}
x_1/2 + x_2/2 &= 0\\
x_1/4+x_2/4+x_3/2 &=0\\
x_1/8+x_2/8+x_3/4+x_4/2 &=0.
\end{align*}$

Eliminez les fractions.

$\begin{align*}
x_1+ x_2 &= 0\\
x_1+x_2+2x_3 &=0\\
x_1+x_2+2x_3+2x_4 &=0.
\end{align*}$

Puis appliquez le pivot de Gauss : $L_2\gets L_2-L_1$ et $L_3\gets L_3-L_1.$

$\begin{align*}
x_1+ x_2 &= 0\\
2x_3 &=0\\
2x_3+2x_4 &=0.
\end{align*}$

D’où il vient $x_3=x_4=0$ et $x_2=-x_1.$

Le vecteur $\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ est égal à $\begin{pmatrix}x_1 \\-x_1\\0\\0\end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix}1 \\-1\\0\\0\end{pmatrix}.$

Par conséquent le noyau de $A$ est de dimension $1$ et il est engendré par le vecteur $\begin{pmatrix}1 \\-1\\0\\0\end{pmatrix}.$

Quel est le déterminant de $A$ ?

Comme la dimension du noyau de $A$ est strictement positive, la matrice $A$ n’est pas inversible, donc $\det A = 0.$

Quel est le rang de $A$ ?

Si vous n’avez pas utilisé le théorème du rang dès le début, comme la dimension du noyau de $A$ vaut $1$, l’application du théorème du rang fournit $\mathrm{rg}(A) = 4 – \dim \ker A = 3.$

Quelles sont les valeurs propres de $A$ ?

Calculez $A \begin{pmatrix}1 \\1\\1\\1\end{pmatrix} $

$A \begin{pmatrix}1 \\1\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\1\\1\\1\end{pmatrix}$ par suite, le vecteur $ \begin{pmatrix}1 \\1\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $A$ et $1$ est valeur propre de $A.$

Calculez $A \begin{pmatrix}2 \\0\\-1\\-1\end{pmatrix} $

$A \begin{pmatrix}2 \\0\\-1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\0\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}$ par suite, le vecteur $\begin{pmatrix}1 \\0\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $A$ et $1/2$ est valeur propre de $A.$

Calculez le polynôme caractéristique de $A$

Comme la matrice $A$ contient de nombreuses fractions, il est plus agréable de poser $B = 8A = \begin{pmatrix}
4 & 4 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 4 & 0\\
1 & 1 & 2 & 4\\
1 & 1 & 2 & 4
\end{pmatrix}$ et d’effectuer quelques changements de variable.

Notez $P$ le polynôme caractéristique de $A$ et $Q$ le polynôme caractéristique de $B$.
$P(X)=\det(XI-A) = \frac{1}{8^4}\det(8XI-B) = \frac{1}{8^4}Q(8X).$

Par suite, pour tout $x\in\R$, $x$ est valeur propre de $A$, si et seulement si, $8x$ est valeur propre de $B$.

Comme $A$ admet $0$, $1/2$ et $1$ pour valeurs propres, vous déduisez que $B$ admet $0$, $4$ et $8$ comme valeurs propres, donc $Q(X)$ est factorisable par $X$, $X-4$ et $X-8$ ce qui aide grandement dans la façon de mener le calcul du déterminant le définissant. En effet :

$Q(X) = \begin{vmatrix}
X-4 & -4 & 0 & 0 \\
-2 & X-2 & -4 & 0\\
-1 & -1 & X-2 & -4\\
-1 & -1 & -2 & X-4
\end{vmatrix}.$

Effectuez l’opération élémentaire $L_4\gets L_4+L_3+L_2+L_1$ suivie de deux factorisations puis de l’opération élémentaire $L_3\gets L_3+L_4.$

$Q(X) = \begin{vmatrix}
X-4 & -4 & 0 & 0 \\
-2 & X-2 & -4 & 0\\
-1 & -1 & X-2 & -4\\
X-8 & X-8 & X-8 & X-8
\end{vmatrix}$

$\begin{align*}
Q(X) &=(X-8) \begin{vmatrix}
X-4 & -4 & 0 & 0 \\
-2 & X-2 & -4 & 0\\
-1 & -1 & X-2 & -4\\
1 & 1 & 1 & 1
\end{vmatrix} \\
&=\frac{X-8}{4} \begin{vmatrix}
X-4 & -4 & 0 & 0 \\
-2 & X-2 & -4 & 0\\
-1 & -1 & X-2 & -4\\
4 & 4 & 4 &4
\end{vmatrix}\\
&=\frac{X-8}{4} \begin{vmatrix}
X-4 & -4 & 0 & 0 \\
-2 & X-2 & -4 & 0\\
3 & 3 & X+2 & 0\\
4 & 4 & 4 &4
\end{vmatrix}\\
&=(X-8) \begin{vmatrix}
X-4 & -4 & 0 \\
-2 & X-2 & -4 \\
3 & 3 & X+2
\end{vmatrix}
\end{align*}$

Maintenant effectuez $C_1\gets C_1-C_2.$

$\begin{align*}
Q(X) &=(X-8) \begin{vmatrix}
X & -4 & 0 \\
-X & X-2 & -4 \\
0 & 3 & X+2
\end{vmatrix}\\
&=X(X-8) \begin{vmatrix}
1 & -4 & 0 \\
-1 & X-2 & -4 \\
0 & 3 & X+2
\end{vmatrix}\\
&=X(X-8) \begin{vmatrix}
1 & -4 & 0 \\
0 & X-6 & -4 \\
0 & 3 & X+2
\end{vmatrix}\\
&=X(X-8) \begin{vmatrix}
X-6 & -4 \\
3 & X+2
\end{vmatrix}
\end{align*}$

Enfin effectuez $C_2\gets C_2-2C_1.$

$\begin{align*}
Q(X) &= X(X-8)\begin{vmatrix}
X-6 & -2X+8 \\
3 & X-4
\end{vmatrix}\\
&= X(X-4)(X-8)\begin{vmatrix}
X-6 & -2 \\
3 & 1
\end{vmatrix}\\
&= \frac{X(X-4)(X-8)}{2}\begin{vmatrix}
X-6 & -2 \\
6 & 2
\end{vmatrix}\\
&=\frac{X(X-4)(X-8)}{2}\begin{vmatrix}
X & 0 \\
6 & 2
\end{vmatrix}\\
&= X^2(X-4)(X-8).
\end{align*}$

La matrice $B$ admet au sens exhaustif $0$, $4$ et $8$ pour valeurs propres, donc la matrice $A$ admet exactement 3 valeurs propres qui sont $0$, $1/2$ et $1.$

La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $M_4(\R)$ ?

Le polynôme caractéristique de $A$ est $P(X)=\frac{1}{8^4}Q(8X)=\frac{1}{8^4}(8X)^2(8X-4)(8X-8) = X^2(X-1/2)(X-1).$

Si la matrice $A$ était diagonalisable dans l’ensemble des matrices réelles, il existerait une matrice réelle inversible $P$ telle que
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$ De là il apparaîtrait que le noyau de $A$ serait de dimension $2$ : il serait engendré par les vecteurs obtenus à partir des deux premières colonnes de la matrice inversible $P$.

Or il a été vu que le noyau de $A$ est de dimension $1$. Par suite, la matrice $A$ n’est pas diagonalisable.

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