Pourquoi la limite d’une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d’y parvenir avec les outils du lycée.
Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$
Etablissez la monotonie de la suite $n\mapsto q^n$
Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n = q^{n+1}-q^n = q^n(q-1).$
Or le réel $q$ est inférieur à $1$ donc $q-1$ est négatif. Comme $q$ est positif, $q^n$ l’est aussi.
Par la règle des signes, $q^n(q-1)$ est négatif, donc $u_{n+1}-u_n$ est négatif.
La suite $(u_n)$ est décroissante.
Etablissez la convergence de la suite $n\mapsto q^n$
La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$, puisque $q$ est supposé positif.
Donc la suite $(u_n)$ est convergente.
Autrement dit, il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell.$
Etablissez que la limite de la suite $n\mapsto q^n$ est égale à $0$
La suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$ possède la même limite que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ (on dit que c’est une suite extraite), c’est-à-dire $\lim_{n\to +\infty} q^{n+1} =\ell.$
Or, $\forall n\in\N, q^{n+1} = q\times q^n$ et il a été vu que $\lim_{n\to +\infty} q^n = \ell$ donc $\lim_{n\to+\infty} q\times q^n = q\ell.$
La suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$ possède donc deux réels comme limites, $\ell$ et $q\ell$.
Par unicité de la limite d’une suite, il en résulte que $\ell = q\ell$, d’où $\ell(q-1) = 0.$
Comme le nombre $q$ n’est pas égal à $1$, le nombre $q-1$ est non nul, et par suite $\ell = 0.$
Ainsi il est maintenant établi que $\boxed{\forall q\in[0,1[, \lim_{n\to+\infty} q^n = 0.}$
Qu’en est-il si on suppose $q\in]-1,0]$ ?
Soit $q$ un réel appartenant à l’intervalle $q\in]-1,0]$, de même vous posez $\forall n\in\N, u_n = q^n.$
La suite $u_n$ possède des variations de signe, aussi, l’argument de monotonie ne fonctionne plus.
Cependant, $\forall n\in\N, \lvert u_n \rvert = \lvert q \rvert^n.$
Il semble alors légitime de poser $r = \lvert q \rvert$ pour appliquer le résultat précédemment établi. Comme $r\in[0,1[$, vous déduisez $\lim_{n\to+\infty} r^n=0$ donc la suite $(\lvert u_n \rvert)_{n\geq 0}$ converge vers $0$ et par conséquent la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge encore vers $0$, en vertu de l’encadrement $\forall n\in\N, -\lvert u_n \rvert \leq u_n\leq \lvert u_n \rvert.$
Concluez
$\boxed{\forall q\in ]-1,1[, \lim_{n\to+\infty} q^n = 0.}$
Prolongement
Soit $q$ un réel appartenant à l’intervalle $]-1,1[$.
Pourriez-vous établir que la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = n q^n$ converge encore vers $0$ ?
Soit $m\in\N$. Pourriez-vous établir que la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = n^m q^n$ converge encore vers $0$ ?
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