Pourquoi une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre $-1$ et $1$ converge-t-elle vers zéro ? Il existe un moyen d’y parvenir avec les outils du lycée.

Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$

Établissez la monotonie de la suite $n\mapsto q^n$

Soit $n$ un entier naturel.

Or le réel $q$ est inférieur à $1$ donc $q-1$ est négatif. Comme $q$ est positif, $q^n$ l’est aussi.

Par la règle des signes, $q^n(q-1)$ est négatif, donc $u_{n+1}-u_n$ est négatif.

La suite $(u_n)$ est décroissante.

Établissez la convergence de la suite $n\mapsto q^n$

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0\comma$ puisque $q$ est supposé positif.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Autrement dit, il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell.$

Établissez que la limite de la suite $n\mapsto q^n$ est égale à $0$

La suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$ possède la même limite que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ (c’est une suite extraite), c’est-à-dire $\lim_{n\to +\infty} q^{n+1} =\ell.$

Or, $\forall n\in\N, q^{n+1} = q\times q^n$ et il a été vu que $\lim_{n\to +\infty} q^n = \ell$ donc $\lim_{n\to+\infty} q\times q^n = q\ell.$

La suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$ possède donc deux réels comme limites, $\ell$ et $q\ell.$

Par unicité de la limite d’une suite, il en résulte que $\ell = q\ell\comma$ d’où $\ell(q-1) = 0.$

Comme le nombre $q$ n’est pas égal à $1\comma$ le nombre $q-1$ est non nul, et par suite $\ell = 0.$

Ainsi il est maintenant établi que $\boxed{\forall q\in[0,1[, \lim_{n\to+\infty} q^n = 0.}$

Étudiez le cas où $q$ appartient à $]-1,0]$

Soit $q$ un réel appartenant à l’intervalle $]-1,0]\comma$ de même vous posez $\forall n\in\N, u_n = q^n.$

La suite $(u_n)$ possède des changements de signe, aussi l’argument de monotonie ne fonctionne plus.

Cependant, $\forall n\in\N, \lvert u_n \rvert = \lvert q \rvert^n.$

Il semble alors légitime de poser $r = \lvert q \rvert$ pour appliquer le résultat précédemment établi. Comme $r\in[0,1[\comma$ vous déduisez $\lim_{n\to+\infty} r^n=0$ donc la suite $(\lvert u_n \rvert)_{n\geq 0}$ converge vers $0$ et par conséquent la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge encore vers $0\comma$ en vertu de l’encadrement $\forall n\in\N, -\lvert u_n \rvert \leq u_n\leq \lvert u_n \rvert.$

Concluez

Prolongement

Soit $q$ un réel appartenant à l’intervalle $]-1,1[.$

Pourriez-vous établir que la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = n q^n$ converge encore vers zéro ?

Soit $m\in\N.$ Pourriez-vous établir que la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = n^m q^n$ converge encore vers zéro ?