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134. Résolution d’un système non linéaire

17/07/2020 - 0063

Soit à résoudre le système suivant :

$\left\{\begin{align*}
x^2+xy &=28\\
y^2+xy&=21
\end{align*}\right.$
dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels.

Effectuez une division euclidienne pour l’analyse

Soit $(x,y)$ une solution du système proposé.

Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$

Travaillez avec $X$ comme indéterminée. Lorsque vous effectuez la division euclidienne du polynôme formel $X^2+XY-28$ de degré $2$ par le polynôme formel $YX+Y^2-21$ de degré $1$, dans l’anneau $\R(Y)[X]$ vous aboutissez à l’égalité $Y^2(X^2+XY-28) = (YX+Y^2-21)(XY+21)+441-49Y^2.$

Ainsi, il s’ensuit que $441-49y^2=0$ soit $9-y^2=0$ d’où $y\in\{-3,3\}.$

Si $y=3$, alors $y^2+xy=21$ fournit $9+3x=21$ d’où $3+x = 7$ et $x=4$, d’où $(x,y)= (4,3).$

Si $y=-3$, alors $9-3x=21$ d’où $3-x=7$ d’im $x=-4$ et $(x,y)=(-4,-3).$

Synthèse

Posez $x=4$ et $y=3$, alors $xy = 12$, $x^2=16$ et $y^2 = 9$, d’où $x^2+xy=16+12 = 28$ et $y^2+xy=9+12=21.$

Donc $(4,3)$ est bien solution du système proposé.

De même, posez $x=-4$ et $y=-3$, alors $xy = 12$, $x^2=16$ et $y^2 = 9$, d’où $x^2+xy=16+12 = 28$ et $y^2+xy=9+12=21.$

Donc $(-4,-3)$ est une autre solution qui convient.

Précisez l’ensemble des solutions

D’après ce qui précède, le système

$\left\{\begin{align*}
x^2+xy &=28\\
y^2+xy&=21
\end{align*}\right.$
admet pour ensemble de solutions $\{(4,3),(-4,-3)\}.$

Vérifiez graphiquement le résultat obtenu

28/06/2021 - Capture decran 2021 06 28 a 00.00.14

Prolongement

Pourriez-vous expliciter les valeurs exactes des solutions du système

$\left\{\begin{align*}
x^2+xy &=27\\
y^2+xy&=21
\end{align*}\right.$
 ?

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