Dans le cadre de la préparation à l’agrégation de mathématiques, il peut être utile de savoir démontrer que $\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1.$

Définissez la propriété

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, notez $P(n)$ la propriété « $4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1$. »

Initialisez

Supposez que $n=3.$

$\begin{align*}
4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) &= 4 (5^{2^0}+1) \\
&=4( 5+1)\\
&=24.
\end{align*}$

D’autre part :

$\begin{align*}
5^{2^{n-2}}-1 &= 5^{2^1}-1 \\
&= 5^2-1\\
&=24.
\end{align*}$

Il s’ensuit que $P(3)$ est vérifiée.

Montrez que la propriété est héréditaire

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$, tel que $P(n)$ soit vérifiée.

$\begin{align*}
4 \prod_{k=0}^{(n+1)-3}(5^{2^k}+1) &= 4 \prod_{k=0}^{n-2}(5^{2^k}+1) \\
&= 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) (5^{2^{n-2}}+1)\\
&= (5^{2^{n-2}}-1)(5^{2^{n-2}}+1)\\
&= (5^{2^{n-2}})^2-1\\
&=5^{2\times 2^{n-2}}-1\\
&=5^{2^{n-1}}-1\\
&=5^{2^{(n+1)-2}}-1.\\
\end{align*}$

Alors $P(n+1)$ est vérifiée.

Concluez par récurrence sur l’entier $n$

La propriété $P$ est vérifiée au rang $3$ et elle est héréditaire, par conséquent, $\forall n\geq 3$, $P(n)$ est vérifiée, donc $\boxed{\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1}.$