Pouvez-vous justifier l’unicité sans utiliser les grands théorèmes de Gauss et de Bézout, ni le lemme d’Euclide ? La réponse est oui : elle découle de l’argument de minimalité propre à l’ensemble $\N\comma$ selon lequel toute partie de $\N\comma$ non vide, admet un plus petit élément.
Passez aux définitions précises. Comme la multiplication est commutative sur les entiers naturels, vous direz qu’un entier $n$ supérieur ou égal à $2$ admet une décomposition en nombres premiers, si et seulement si, il existe un entier $r\geq 1$ et des nombres premiers $p_1, \dots, p_r$ rangés par ordre croissant, avec $p_1\leq \cdots \leq p_r\comma$ tels que $n = p_1 \times \cdots \times p_r\comma$ ce qui s’écrit aussi $n = \prod_{i=1}^r p_i.$
Notez $A$ l’ensemble des entiers naturels $n$ supérieur ou égaux à $2\comma$ qui admettent au moins deux décompositions différentes en produit de nombres premiers.
Supposez que l’ensemble $A$ soit non vide. Comme $A$ est une partie de $\N\comma$ l’ensemble $A$ admet un plus petit élément que vous noterez $m\comma$ avec $m\geq 2.$
Cet entier $m$ admet deux décompositions différentes.
Il existe un entier $r\geq 1$ et des nombres premiers rangés par ordre croissant $p_1\leq \cdots \leq p_r$ tels que $m=\prod_{i=1}^r p_i.$
Il existe un entier $s \geq 1$ et des nombres premiers rangés par ordre croissant $q_1\leq \cdots \leq q_s$ tels que $m=\prod_{i=1}^s q_i.$
Avec, soit $r\neq s\comma$ soit $r=s$ mais avec existence d’un entier $i$ compris entre $1$ et $r$ tel que $p_i \neq q_i.$
Montrez que $m$ n’est pas un nombre premier
Si tel était le cas, pour tout $i$ compris entre $1$ et $r\comma$ vous auriez $p_i \mid m.$ Comme $m$ est supposé être premier, $p_i\in\{1, m\}.$ Comme $p_i$ est premier, il est supérieur ou égal à $2$ donc $p_i \neq 1$ et par suite $p_i = m.$
Du coup, $m=\prod_{i=1}^r p_i$ s’écrit $m = m^r$ et donc $r=1.$
De même, pour tout $i$ compris entre $1$ et $s\comma$ vous auriez $q_i \mid m$ donc $q_i\in\{1,m\}$ et $q_i =m$ donc $m=\prod_{i=1}^s q_i$ s’écrirait $m=m^s$ donc $s=1.$
Ainsi, $m = p_1 = q_1$ et donc $m$ ne peut admettre deux décompositions différentes donc $m\notin A$ ce qui est absurde.
D’après ce qui précède, $m$ n’étant pas premier, les entiers $r$ et $s$ sont supérieurs ou égaux à $2.$
Montrez que $p_1 = q_1$
En tronquant le produit $m=\prod_{i=1}^r p_i\comma$ vous aboutissez à l’inégalité $m\geq p_1p_2.$ Or $p_1\leq p_2$ donc $p_1^2 \leq m.$
De même $m\geq q_1q_2$ et comme $q_1\leq q_2\comma$ $q_1^2\leq m.$
Ainsi $p_1^2q_1^2\leq m^2$ et donc $p_1q_1\leq m.$
Vous allez considérer l’entier naturel $a= m-p_1q_1$ qui est strictement inférieur à $m.$
Si $a$ était nul, alors $m=p_1q_1=q_1\prod_{i=2}^s q_i$ donc $p_1 = \prod_{i=2}^s q_i.$
Notez $b = p_1 = \prod_{i=2}^s q_i.$ L’entier $b$ est premier donc supérieur ou égal à $2$ et $b \lt m$ donc $b\notin A$ donc par unicité de la décomposition en facteurs premiers de $b\comma$ $s=2$ donc $\prod_{i=2}^s q_i = q_2$ et $m=q_1q_2.$
De même, vous montrez que $r=2$ donc $m=p_1p_2.$
Or, $m=p_1q_1.$ Donc $p_1q_1 = q_1q_2$ et $p_1 = q_2.$
De même, $p_1q_1 = p_1p_2$ donc $q_1 = p_2.$
Or, $p_2\leq q_1 \leq q_2.$
Et $q_2\leq p_1 \leq p_2$ donc $p_2 = q_2.$
Comme $q_1q_2 = p_1p_2$ avec $p_2=q_2$ c’est que $p_1 = q_1\comma$ or, ceci contredit le fait que les deux décompositions $m=\prod_{i=1}^r p_i$ et $m=\prod_{i=1}^s q_i$ sont différentes.
Donc $a$ est non nul.
Supposez $a=1.$ Alors $m = 1+p_1q_1.$ Comme $p_1 \mid p_1q_1$ et $p_1\mid m\comma$ par différence, $p_1 \mid 1$ donc $p_1 = 1$ ce qui est absurde.
L’entier $a = m-p_1q_1$ est donc supérieur ou égal à $2.$ Or il est strictement inférieur à $m.$ Il se décompose en produit de nombres premiers et de façon unique, à l’ordre près des facteurs.
Constatez que $p_1\mid m$ et $p_1 \mid p_1q_1$ donc $p_1 \mid a\comma$ et il existe un entier $\alpha$ tel que $a = p_1\alpha.$ Si $\alpha = 1$ vous en restez là, sinon vous décomposez $\alpha$ comme produit de nombres premiers.
Vous obtenez dans les deux cas $a$ s’écrivant comme un produit de nombres premiers dont l’un d’entre eux est $p_1.$
Le même raisonnement peut être mené avec $q_1.$ Ainsi, $a$ s’écrit comme un produit de nombres premiers dont l’un d’entre eux est $q_1.$
Par l’absurde, supposez que $p_1\neq q_1.$ Par unicité de la décomposition de $a$ en produit de nombres premiers, $p_1$ est l’un des nombres premiers apparaissant dans la décomposition de $a$ et $q_1$ en est un autre. Donc $a$ s’écrit comme produit de nombres premiers avec $p_1$ et $q_1$ apparaissant dans la décomposition. Donc il existe un entier $\beta$ tel que $a = p_1q_1\beta.$ Comme $p_1q_1 \mid p_1q_1$ et $p_1q_1 \mid a$ donc $p_1q_1 \mid m$ donc $p_1 \mid \prod_{i=2}^s q_i$ donc le produit $\prod_{i=2}^s q_i$ admet une décomposition en facteurs premiers qui comporte $p_1.$ Or $\prod_{i=2}^s q_i$ est strictement inférieur à $m$ donc par unicité d’une telle décomposition, il existe un entier $i$ tel que $p_1=q_i.$ Et donc $p_1\geq q_i\geq q_1.$
De même $q_1 \mid \prod_{i=2}^r p_i.$ Donc l’entier $\prod_{i=2}^r p_i$ admet une décomposition en facteurs premiers comportant $q_1.$ Comme il est strictement inférieur à $m\comma$ une telle décomposition est unique donc il existe un entier $i$ tel que $q_1 = p_i$ et donc $q_1\geq p_i \geq p_1.$
Les deux inégalités obtenues donnent $p_1=q_1\comma$ ce qui contredit l’hypothèse $p_1\neq q_1.$
Il en résulte que $p_1=q_1.$
Concluez
Alors $\prod_{i=2}^r p_i = \prod_{i=2}^s q_i$ est un entier supérieur ou égal à $2$ qui est strictement inférieur à $m.$ Donc par unicité de la décomposition, $r=s$ et $\forall i\in \N, 2\leq i\leq r \implies p_i = q_i.$
Finalement $r=s$ et comme $p_1=q_1\comma$ $\forall i\in \N, 1\leq i\leq r \implies p_i = q_i\comma$ les deux décompositions de $m$ sont identiques, ce qui est absurde.
L’ensemble $A$ est donc vide, autrement dit tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à $2$ s’écrit de façon unique comme produit de nombres premiers ordonnés par ordre croissant.