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136. Unicité de la décomposition d’un nombre entier supérieur ou égal à 2 en produit de nombres premiers

Pouvez-vous justifier l’unicité sans utiliser les gros théorèmes de Gauss, Bezout, le lemme d’Euclide ? La réponse est oui et sera la conséquence de l’argument de minimalité que l’on trouve dans l’ensemble $\N$ : toute partie de $\N$, non vide, admet un plus petit élément.

Passez aux définitions précises. Comme la multiplication est commutative sur les entiers naturels, vous direz qu’un entier $n$ supérieur ou égal à $2$ admet une décomposition en nombres premiers, si et seulement si, il existe un entier $r\geq 1$ et des nombres premiers rangés par ordre croissant $p_1$, …, $p_r$ (avec $p_1\leq \cdots \leq p_r$) tels que $n = p_1 \times \cdots \times p_r$, que l’on écrit aussi $n = \prod_{i=1}^r p_i.$

Notez $A$ l’ensemble des entiers naturels $n$ supérieur ou égaux à $2$, qui admettent au moins deux décompositions différentes en produit de nombres premiers.

Supposez que l’ensemble $A$ soit non vide. Comme $A$ est une partie de $\N$, l’ensemble $A$ admet un plus petit élément que vous noterez $m$, avec $m\geq 2$.

Cet entier $m$ admet deux décompositions différentes.

Il existe un entier $r\geq 1$ et des nombres premiers rangés par ordre croissant $p_1\leq \cdots \leq p_r$ tels que $m=\prod_{i=1}^r p_i.$

Il existe un entier $s \geq 1$ et des nombres premiers rangés par ordre croissant $q_1\leq \cdots \leq q_s$ tels que $m=\prod_{i=1}^s q_i.$

Avec, soit $r\neq s$, soit $r=s$ mais avec existence d’un entier $i$ compris entre $1$ et $r$ tel que $p_i \neq q_i.$

Montrez que $m$ n’est pas un nombre premier

Si tel était le cas, pour tout $i$ compris entre $1$ et $r$, vous auriez $p_i \mid m.$ Comme $m$ est supposé être premier, $p_i\in\{1, m\}.$ Comme $p_i$ est premier, il est supérieur ou égal à $2$ donc $p_i \neq 1$ et par suite $p_i = m$.

Du coup, $m=\prod_{i=1}^r p_i$ s’écrit $m = m^r$ et donc $r=1.$

De même, pour tout $i$ compris entre $1$ et $s$, vous auriez $q_i \mid m$ donc $q_i\in\{1,m\}$ et $q_i =m$ donc $m=\prod_{i=1}^s q_i$ s’écrirait $m=m^s$ donc $s=1.$

Ainsi, $m = p_1 = q_1$ et donc $m$ ne peut admettre deux décompositions différentes donc $m\notin A$ ce qui est absurde.

D’après ce qui précède, $m$ n’étant pas premier donc les entiers $r$ et $s$ sont supérieurs ou égaux à $2$.

Montrez que $p_1 = q_1$

En tronquant le produit $m=\prod_{i=1}^r p_i$, vous aboutissez à l’inégalité $m\geq p_1p_2$. Or $p_1\leq p_2$ donc $p_1^2 \leq m.$

De même $m\geq q_1q_2$ et comme $q_1\leq q_2$, $q_1^2\leq m.$

Ainsi $p_1^2q_1^2\leq m^2$ et donc $p_1q_1\leq m.$

Vous allez considérer l’entier naturel $a= m-p_1q_1$ qui est strictement inférieur à $m.$

Si $a$ était nul, alors $m=p_1q_1=q_1\prod_{i=2}^s q_i$ donc $p_1 = \prod_{i=2}^s q_i.$

Notez $b = p_1 = \prod_{i=2}^s q_i.$ L’entier $b$ est premier donc supérieur ou égal à $2$ et $b < m$ donc $b\notin A$ donc par unicité de la décomposition en facteurs premiers de $b$, $s=2$ donc $\prod_{i=2}^s q_i = q_2$ et $m=q_1q_2.$

De même, vous montrez que $r=2$ donc $m=p_1p_2.$

Or, $m=p_1q_1.$ Donc $p_1q_1 = q_1q_2$ et $p_1 = q_2.$

$p_1q_1 = p_1p_2$ donc $q_1 = p_2.$

Or, $p_2\leq q_1 \leq q_2.$

$q_2\leq p_1 \leq p_2$ donc $p_2 = q_2$

Comme $q_1q_2 = p_1p_2$ avec $p_2=q_2$ c’est que $p_1 = q_1$, or, ceci contredit le fait que les deux décompositions $m=\prod_{i=1}^r p_i$ et $m=\prod_{i=1}^s q_i$ sont différentes.

Donc $a$ est non nul.

Supposez $a=1.$ Alors $m = 1+p_1q_1.$ Comme $p_1 \mid p_1q_1$ et $p_1\mid m$, par différence, $p_1 \mid 1$ donc $p_1 = 1$ ce qui est absurde.

L’entier $a = m-p_1q_1$ est donc supérieur ou égal à $2$. Or il est strictement inférieur à $m.$ Il se décompose en produit de nombres premiers et de façon unique, à l’ordre près des facteurs.

Constatez que $p_1\mid m$ et $p_1 \mid p_1q_1$donc $p_1 \mid a$ il existe un entier $\alpha$ tel que $a = p_1\alpha.$ Si $\alpha = 1$ vous en restez là, sinon vous décomposez $\alpha$ comme produit de nombres premiers.

Vous obtenez dans les deux cas $a$ s’écrivant comme un produit de nombres premiers dont l’un d’entre eux est $p_1$.

Le même raisonnement peut être produit avec $q_1$. $a$ s’écrit comme un produit de nombres premiers dont l’un d’entre eux est $q_1$.

Par l’absurde, supposez que $p_1\neq q_1.$ Par unicité de la décomposition de $a$ en produit de nombres premiers, $p_1$ est l’un des nombres premiers apparaissant dans la décomposition de $a$ et $q_1$ en est un autre. Donc $a$ s’écrit comme produit de nombres premiers avec $p_1$ et $q_1$ apparaissant dans la décomposition. Donc il existe un entier $\beta$ tel que $a = p_1q_1\beta.$ $p_1q_1 \mid p_1q_1$ et $p_1q_1 \mid a$ donc $p_1q_1 \mid m$ donc $p_1 \mid \prod_{i=2}^s q_i$ donc le produit $\prod_{i=2}^s q_i$ admet une décomposition en facteurs premiers qui comporte $p_1.$ Or $\prod_{i=2}^s q_i$ est strictement inférieur à $m$ donc par unicité d’une telle décomposition, il existe un entier $i$ tel que $p_1=q_i.$ Et donc $p_1\geq q_i\geq q_1.$

De même $q_1 \mid \prod_{i=1}^r p_i.$ Donc l’entier $\prod_{i=1}^r p_i$ admet une décomposition en facteurs premiers comportant $q_1.$ Comme il est strictement inférieur à $m$, une telle décomposition est unique donc il existe un entier $i$ tel que $q_1 = p_i$ et donc $q_1\geq p_i \geq p_1.$

Des deux cas énumérés ci-dessus, vous obtenez $p_1=q_1.$ Contradiction.

Il en résulte que $p_1=q_1.$

Concluez

Alors $\prod_{i=2}^r p_i = \prod_{i=2}^s q_i$ est un entier supérieur ou égal à $2$ qui est strictement inférieur à $m$. Donc par unicité de la décomposition, $r=s$ et $\forall i\in \N, 2\leq i\leq r \implies p_i = q_i.$

Finalement $r=s$ et comme $p_1=q_1$, $\forall i\in \N, 1\leq i\leq r \implies p_i = q_i$, les deux décompositions de $m$ sont identiques, ce qui est absurde.

L’ensemble $A$ est donc vide, autrement dit tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à $2$ s’écrit de façon unique comme produit de nombres premiers ordonnés par ordre croissant.

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