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137. Calculez la somme $\sum_{k=1}^n k2^k$

Soit $n$ un entier naturel. Vous allez calculer successivement les sommes $A_n = \sum_{k=1}^n 2^k$ et $B_n = \sum_{k=1}^n k2^k.$

Multipliez par $2$ et effectuez un changement de variable

Cette idée va vous donner la réponse pour $A_n.$

$\begin{align*}
2A_n &= \sum_{k=1}^n 2^{k+1}\\
&=\sum_{k=2}^{n+1} 2^k \\
&= 2^{n+1} + \sum_{k=2}^{n} 2^k \\
&= 2^{n+1}+ \sum_{k=1}^{n} 2^k – 2\\
&=2\times 2^n – 2 + A_n.
\end{align*}$

Du coup, par soustraction de $A_n$, vous obtenez $A_n = 2\times 2^n-2.$

Appliquez le même raisonnement pour trouver $B_n$

$\begin{align*}
2B_n &=\sum_{k=1}^n k2^{k+1}\\
&=\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)2^{k}\\
&=\sum_{k=2}^{n+1} k2^{k} – \sum_{k=2}^{n+1} 2^{k}\\
&=(n+1)2^{n+1} + \sum_{k=2}^{n} k2^{k} – \sum_{k=2}^{n} 2^{k} – 2^{n+1}\\
&=n2^{n+1} + \sum_{1=2}^{n} k2^{k} – 2 – \sum_{k=1}^{n} 2^{k} + 2\\
&=n2^{n+1} + B_n -A_n \\
&=2n\times 2^n + B_n – 2\times 2^n + 2\\
&=(2n-2)2^n+2 + B_n.
\end{align*}$

Du coup, par soustraction, vous obtenez $B_n = (2n-2)2^n+2.$

Prolongement

Est-il possible en suivant le même raisonnement de calculer la somme $\sum_{k=1}^n k^2 2^k$ ? Combien trouvez-vous ?

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