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140. Utilisez les nombres complexes pour trouver une décomposition en éléments simples dans les réels

17/07/2020 - 0060

Considérez la fraction rationnelle $F(X)=\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Pour trouver sa décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ vous pouvez d’abord trouver celle qu’elle possède dans $\C(X).$

Les parties polaires

Le polynôme $X^4-1$ se factorise dans $\C(X)$ en utilisant plusieurs fois l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

$\begin{align*}
X^4-1 &= (X^2)^2-1^2\\
&=(X^2-1)(X^2+1)\\
&=(X^2-1^2)(X^2-i^2)\\
&=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).
\end{align*}$

Vous déduisez que $(X^4-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2(X-i)^2(X+i)^2.$

Le degré du numérateur de la fraction $F(X)$ étant strictement inférieur à celui de son dénominateur, la partie entière de $F(X)$ est nulle et il reste les parties polaires qui sont toutes de multiplicité $2$.

D’après le théorème de décomposition en éléments simples dans $\C(X)$ il existe des nombres complexes $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $c_1$, $c_2$, $d_1$ et $d_2$ tels que :

$\begin{align*}
\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}&=\frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{b_1}{X+1}+\frac{b_2}{(X+1)^2}+\frac{c_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X-i)^2}+\frac{d_1}{X+i}+\frac{d_2}{(X+i)^2}.
\end{align*}$

Et maintenant, panachez !

La fraction rationnelle est invariante quand on change $X$ en $-X$, puisque $F(X)=F(-X).$

$\begin{align*}
F(X)&=\frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{b_1}{X+1}+\frac{b_2}{(X+1)^2}+\frac{c_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X-i)^2}+\frac{d_1}{X+i}+\frac{d_2}{(X+i)^2}.
\end{align*}$

$\begin{align*}
F(-X)&=\frac{a_1}{-X-1}+\frac{a_2}{(-X-1)^2}+\frac{b_1}{-X+1}+\frac{b_2}{(-X+1)^2}+\frac{c_1}{-X-i}+\frac{c_2}{(-X-i)^2}+\frac{d_1}{-X+i}+\frac{d_2}{(-X+i)^2} \\
&=\frac{-b_1}{X-1}+\frac{b_2}{(X-1)^2}+\frac{-a_1}{X+1}+\frac{a_2}{(X+1)^2}+\frac{-d_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X+i)^2}+\frac{-c_1}{X+i}+\frac{d_2}{(X+i)^2}
\end{align*}$

La fraction rationnelle $F(X)$ admet donc deux décompositions en éléments simples.

$\begin{align*}
F(X)&=\frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{b_1}{X+1}+\frac{b_2}{(X+1)^2}+\frac{c_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X-i)^2}+\frac{d_1}{X+i}+\frac{d_2}{(X+i)^2}\\
&=\frac{-b_1}{X-1}+\frac{b_2}{(X-1)^2}+\frac{-a_1}{X+1}+\frac{a_2}{(X+1)^2}+\frac{-d_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X+i)^2}+\frac{-c_1}{X+i}+\frac{d_2}{(X+i)^2}.
\end{align*}$

Par unicité d’une telle décomposition, vous déduisez que $b_1 = -a_1$, $b_2 = a_2$, $d_1 = -c_1$ et $c_2=d_2.$

Le nombre d’éléments à calculer est passé de 8 à 4.

$F(X) = \frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{-a_1}{X+1}+\frac{a_2}{(X+1)^2}+\frac{c_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X-i)^2}+\frac{-c_1}{X+i}+\frac{c_2}{(X+i)^2}$

Continuez de panacher !

Comme $i^4 = 1$, vous constatez que la fraction $F(X)$ est égale à $F(iX).$

$\begin{align*}
F(iX) &= \frac{a_1}{iX-1}+\frac{a_2}{(iX-1)^2}+\frac{-a_1}{iX+1}+\frac{a_2}{(iX+1)^2}+\frac{c_1}{iX-i}+\frac{c_2}{(iX-i)^2}+\frac{-c_1}{iX+i}+\frac{c_2}{(iX+i)^2}\\
&= \frac{ i a_1}{-X-i}+\frac{i^2a_2}{(-X-i)^2}+\frac{-ia_1}{-X+i}+\frac{i^2a_2}{(-X+i)^2}+\frac{ic_1}{-X+1}+\frac{i^2c_2}{(-X+1)^2}+\frac{-ic_1}{-X-1}+\frac{i^2c_2}{(-X-1)^2}\\
&= \frac{ -i a_1}{X+i}+\frac{-a_2}{(X+i)^2}+\frac{ia_1}{X-i}+\frac{-a_2}{(X-i)^2}+\frac{-ic_1}{X-1}+\frac{-c_2}{(X-1)^2}+\frac{ic_1}{X+1}+\frac{-c_2}{(X+1)^2}\\
&=\frac{-ic_1}{X-1}+\frac{-c_2}{(X-1)^2}+\frac{ic_1}{X+1}+\frac{-c_2}{(X+1)^2}+\frac{ia_1}{X-i}+\frac{-a_2}{(X-i)^2}+ \frac{ -i a_1}{X+i}+\frac{-a_2}{(X+i)^2}\\
\end{align*}$

Ainsi deux écritures se présentent pour la fraction rationnelle $F(X)$.

$\begin{align*}
F(X) &= \frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{-a_1}{X+1}+\frac{a_2}{(X+1)^2}+\frac{c_1}{X-i}+\frac{c_2}{(X-i)^2}+\frac{-c_1}{X+i}+\frac{c_2}{(X+i)^2}\\
&= \frac{-ic_1}{X-1}+\frac{-c_2}{(X-1)^2}+\frac{ic_1}{X+1}+\frac{-c_2}{(X+1)^2}+\frac{ia_1}{X-i}+\frac{-a_2}{(X-i)^2}+ \frac{ -i a_1}{X+i}+\frac{-a_2}{(X+i)^2}
\end{align*}$

Par unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples, vous déduisez les égalités suivantes $a_1 = -ic_1$ ce qui donne $c_1 = ia_1$ et puis $c_2 = -a_2$.

$F(X) = \frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{-a_1}{X+1}+\frac{a_2}{(X+1)^2}+\frac{ia_1}{X-i}+\frac{-a_2}{(X-i)^2}+\frac{-ia_1}{X+i}+\frac{-a_2}{(X+i)^2}$

Il reste donc deux coefficients à calculer.

Calculez le nombre $a_2$

Multipliez la fraction rationnelle $F(X)$ par $(X+1)^2$, elle est égale à $\frac{4X^4 (X+1)^2}{(X^2-1)^2(X^2+1)^2} = \frac{4X^4(X+1)^2}{(X-1)^2(X+1)^2(X^2+1)^2} = \frac{4X^4}{(X-1)^2(X^2+1)^2}.$

Ainsi $a_2 = \left[\frac{4X^4}{(X-1)^2(X^2+1)^2}\right]_{X=-1} = \frac{4}{4\times 4} = \frac{1}{4}.$

Calculez le nombre $a_1$

Effectuez $X=0$ dans l’égalité $F(X) = \frac{a_1}{X-1}+\frac{a_2}{(X-1)^2}+\frac{-a_1}{X+1}+\frac{a_2}{(X+1)^2}+\frac{ia_1}{X-i}+\frac{-a_2}{(X-i)^2}+\frac{-ia_1}{X+i}+\frac{-a_2}{(X+i)^2}.$

$0 = -4a_1+4a_2$ d’où $a_2 = a_1 = \frac{1}{4}.$

Déduisez-en la décomposition dans $\C(X)$ puis celle dans $\R(X)$

D’après ce qui précède, la décomposition dans $\C(X)$ est la suivante :

$F(X) = \frac{1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}+\frac{-1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}+\frac{i}{4(X-i)}+\frac{-1}{4(X-i)^2}+\frac{-i}{4(X+i)}+\frac{-1}{4(X+i)^2}.$

Pour trouver celle dans $\R(X)$ vous allez regrouper les parties polaires conjuguées.

Commencez d’abord par les multiplicités de degré 2

$\begin{align*}
\frac{-1}{4(X-i)^2} +\frac{-1}{4(X+i)^2} &= \frac{-(X+i)^2-(X-i)^2}{4(X-i)^2(X+i)^2}\\
&= \frac{-X^2-2ix+1-X^2+2ix+1}{4(X^2+1)^2}\\
&=\frac{-2X^2+2}{4(X^2+1)^2}\\
&=\frac{-X^2+1}{2(X^2+1)^2.}
\end{align*}$

Cette fraction rationnelle est réelle mais elle n’est pas décomposée en éléments simples dans $\R(X).$

Pour l’obtenir, vous pouvez remarquer que :

$\begin{align*}
\frac{-1}{4(X-i)^2} +\frac{-1}{4(X+i)^2} &=\frac{-X^2+1}{2(X^2+1)^2}\\
&= \frac{-(X^2+1)+2}{2(X^2+1)^2}\\
&=\frac{-1}{2(X^2+1)}+\frac{1}{(X^2+1)^2}.
\end{align*}$

Finissez avec les multiplicités de degré 1

$\begin{align*}
\frac{i}{4(X-i)}+\frac{-i}{4(X+i)}&=\frac{i(X+i)-i(X-i)}{4(X^2+1)} \\
&=\frac{-2}{4(X^2+1)}\\
&=\frac{-1}{2(X^2+1)}.
\end{align*}$

Concluez

$\begin{align*}
F(X) &= \frac{1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}+\frac{-1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}+\frac{i}{4(X-i)}+\frac{-1}{4(X-i)^2}+\frac{-i}{4(X+i)}+\frac{-1}{4(X+i)^2}\\
&= \frac{1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}+\frac{-1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}+\left(\frac{i}{4(X-i)} +\frac{-i}{4(X+i)} \right) + \left(\frac{-1}{4(X-i)^2}+\frac{-1}{4(X+i)^2}\right)\\
&=\frac{1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}+\frac{-1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}+\left(\frac{-1}{2(X^2+1)} \right)+\left(\frac{-1}{2(X^2+1)}+\frac{1}{(X^2+1)^2}\right)\\
&=\frac{1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}+\frac{-1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}+\frac{-1}{X^2+1}+\frac{1}{(X^2+1)^2}.
\end{align*}$

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