Soit $(a,b,c,d)\in\C^4$ un quadruplet de nombres complexes tel que $a$ soit non nul.
Considérez alors l’équation $(E) : ax^3+bx^2+cx+d = 0$ du troisième degré d’inconnue $x\in\C.$
Il existe trois nombres complexes, notés $\alpha_1\comma$ $\alpha_2$ et $\alpha_3$ tels que $aX^3+bX^2+cX+d$ est égal à $a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3).$
En développant le membre de droite :
\begin{align*}
a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3) &= a(X^3 – (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)X^2+(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3)X – \alpha_1\alpha_2\alpha_3).
\end{align*}
Par identification des coefficients du polynôme formel $aX^3+bX^2+cX+d$ dans $\C[X]\comma$ il vient :
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= \frac{-b}{a}\\
\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3 &= \frac{c}{a} \\
\alpha_1\alpha_2\alpha_3 &= \frac{-d}{a}.
\end{align*}\right.
Pour plus de commodité dans la suite, vous noterez :
\boxed{\begin{align*}
N_1 &= \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 \\
N_2 &= \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3 \\
N_3 &=\alpha_1\alpha_2\alpha_3 .
\end{align*}}
Soit $j$ une solution complexe non réelle de l’équation $1+j+j^2=0.$
En multipliant par $j$ vous constatez que $j+j^2+j^3 = 0$ si bien que $1+j+j^2+j^3 = 1$ et par suite $j^3=1.$
Calculez une somme bien choisie
Considérez l’expression suivante $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 +(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$
Il peut être montré dans un autre article que l’expression $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ est polynomiale et invariante par permutation des variables. Elle est donc exprimable en fonction des quantités $N_1 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\comma$ $N_2 = \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3$ et $N_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3.$
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 143.
Les calculs en ce sens vont être menés ci-dessous.
Commencez par développer l’expression $(\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3 )^3\comma$ en utilisant le fait que :
\begin{align*}
(p+q+r)^3 &=p^3+q^3+r^3\\
&\quad +3pq^2+3pr^2+3qp^2+3qr^2+3rp^2+3rq^2\\
&\quad +6pqr.
\end{align*}
\begin{align*}
(\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3 )^3 &= \alpha_1^3+j^3\alpha_2^3+j^6\alpha_3^3\\
&\quad +3j^2\alpha_1\alpha_2^2+3j^4\alpha_1\alpha_3^2+3j\alpha_1^2\alpha_2+3j^5\alpha_2\alpha_3^2+3j^2\alpha_1^2\alpha_3+3j^4\alpha_2^2\alpha_3\\
&\quad + 6j^3\alpha_1\alpha_2\alpha_3\\
&= \alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3\\
&\quad +3j^2\alpha_1\alpha_2^2+3j\alpha_1\alpha_3^2+3j\alpha_1^2\alpha_2+3j^2\alpha_2\alpha_3^2+3j^2\alpha_1^2\alpha_3+3j\alpha_2^2\alpha_3\\
&\quad + 6\alpha_1\alpha_2\alpha_3\\
&= \alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3\\
&\quad 3j(\alpha_1\alpha_3^2+\alpha_1^2\alpha_2+\alpha_2^2\alpha_3)+3j^2(\alpha_1\alpha_2^2+\alpha_2\alpha_3^2+\alpha_1^2\alpha_3)\\
&\quad + 6\alpha_1\alpha_2\alpha_3
\end{align*}
De même :
\begin{align*}
(\alpha_1+j^2\alpha_2+j\alpha_3 )^3 &= \alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3\\
&\quad +3j(\alpha_1\alpha_2^2+\alpha_1^2\alpha_3+\alpha_3^2\alpha_2)+3j^2(\alpha_1\alpha_3^2+\alpha_3\alpha_2^2+\alpha_1^2\alpha_2)\\
&\quad + 6\alpha_1\alpha_2\alpha_3.
\end{align*}
Par somme :
\begin{align*}
S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= 2(\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3)\\
&\quad +3j(\alpha_1\alpha_2^2+\alpha_1^2\alpha_3+\alpha_3^2\alpha_2+\alpha_1\alpha_3^2+\alpha_1^2\alpha_2+\alpha_2^2\alpha_3)+3j^2(\alpha_1\alpha_3^2+\alpha_3\alpha_2^2+\alpha_1^2\alpha_2+\alpha_1\alpha_2^2+\alpha_2\alpha_3^2+\alpha_1^2\alpha_3)\\
&\quad + 12\alpha_1\alpha_2\alpha_3\\
&=2(\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3)\\
&\quad +(3j+3j^2)(\alpha_1(\alpha_2^2+\alpha_3^2)+\alpha_2(\alpha_1^2+\alpha_3^2)+\alpha_3(\alpha_1^2+\alpha_2^2))\\
&\quad + 12\alpha_1\alpha_2\alpha_3.
\end{align*}
D’où finalement :
\boxed{\begin{align*}
S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= 2(\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3)\\
&\quad-3(\alpha_1(\alpha_2^2+\alpha_3^2)+\alpha_2(\alpha_1^2+\alpha_3^2)+\alpha_3(\alpha_1^2+\alpha_2^2))\\
&\quad + 12\alpha_1\alpha_2\alpha_3.
\end{align*}}
Afin de trouver l’expression de $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ en fonction de $N_1\comma$ $N_2$ et $N_3\comma$ vous déterminez d’abord l’expression de $\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3$ en procédant comme suit :
\begin{align*}
\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 – N_1^3 &=\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 – (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)^3 \\
&= \alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 – ( \alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 + 3\alpha_1\alpha_2^2+3\alpha_1\alpha_3^2 + 3\alpha_2\alpha_1^2+3\alpha_2\alpha_3^2+3\alpha_3\alpha_1^2+3\alpha_3\alpha_2^2+6\alpha_1\alpha_2\alpha_3)\\
&=- 3\alpha_1\alpha_2^2-3\alpha_1\alpha_3^2 – 3\alpha_2\alpha_1^2-3\alpha_2\alpha_3^2-3\alpha_3\alpha_1^2-3\alpha_3\alpha_2^2-6\alpha_1\alpha_2\alpha_3.
\end{align*}
\begin{align*}
\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 – N_1^3 + 3N_1N_2
&= – 3\alpha_1\alpha_2^2-3\alpha_1\alpha_3^2 – 3\alpha_2\alpha_1^2-3\alpha_2\alpha_3^2-3\alpha_3\alpha_1^2-3\alpha_3\alpha_2^2-6\alpha_1\alpha_2\alpha_3 \\
&\quad +3(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3)\\
&= – 3\alpha_1\alpha_2^2-3\alpha_1\alpha_3^2 – 3\alpha_2\alpha_1^2-3\alpha_2\alpha_3^2-3\alpha_3\alpha_1^2-3\alpha_3\alpha_2^2-6\alpha_1\alpha_2\alpha_3 \\
&\quad +3\alpha_1^2\alpha_2+3\alpha_1^2\alpha_3+3\alpha_1\alpha_2\alpha_3\\
&\quad +3\alpha_2^2\alpha_1+3\alpha_1\alpha_2\alpha_3+3\alpha_2^2 \alpha_3 \\
&\quad +3\alpha_1\alpha_2\alpha_3+3\alpha_1\alpha_3^2+3\alpha_2\alpha_3^2\\
&= 3\alpha_1\alpha_2\alpha_3
\end{align*}
Par conséquent $\boxed{\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 = N_1^3-3N_1N_2+3N_3}.$
Il reste ensuite à déterminer l’expression de $\alpha_1(\alpha_2^2+\alpha_3^2)+\alpha_2(\alpha_1^2+\alpha_3^2)+\alpha_3(\alpha_1^2+\alpha_2^2$ en fonction de $N_1\comma$ $N_2$ et $N_3.$
\begin{align*}
\alpha_1(\alpha_2^2+\alpha_3^2)+\alpha_2(\alpha_1^2+\alpha_3^2)+\alpha_3(\alpha_1^2+\alpha_2^2) – N_1N_2 &= \alpha_1(\alpha_2^2+\alpha_3^2)+\alpha_2(\alpha_1^2+\alpha_3^2)+\alpha_3(\alpha_1^2+\alpha_2^2)\\
&\quad -\alpha_1^2\alpha_2- \alpha_1^2\alpha_3 -\alpha_1\alpha_2\alpha_3\\
&\quad -\alpha_2^2\alpha_1-\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_2^2 \alpha_3 \\
&\quad -\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_3^2-\alpha_2\alpha_3^2\\
&= -3N_3
\end{align*}
D’où $\boxed{\alpha_1(\alpha_2^2+\alpha_3^2)+\alpha_2(\alpha_1^2+\alpha_3^2)+\alpha_3(\alpha_1^2+\alpha_2^2) = N_1N_2-3N_3}.$
L’ensemble étant mis bout à bout, il vient :
\begin{align*}
S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= 2(N_1^3-3N_1N_2+3N_3)\\
&\quad-3(N_1N_2-3N_3)\\
&\quad + 12N_3.
\end{align*}
D’où $\boxed{S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3}.$
Calculez maintenant le produit associé
Notez $P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 \times (\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$
Pour les mêmes raisons, le produit $P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ est polynomial et reste invariant par permutation des variables. Il est donc calculable en fonction de $N_1\comma$ $N_2$ et $N_3.$
Un tel calcul, que vous trouverez dans un autre article, amène à la conclusion suivante :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 143.
(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3) = N_1^2-3N_2.
Et finalement $\boxed{P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (N_1^2-3N_2)^3}.$
Étudiez le cas particulier
Supposez que $N_1^2 – 3N_2 = 0.$
D’après ce qui précède, deux cas sont possibles.
Premier cas : $\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 = 0$
Les nombres $\alpha_1\comma$ $\alpha_2$ et $\alpha_3$ vérifient le système :
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= 0 \\
S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.
\end{align*}\right.
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= 0 \\
(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3 &= 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.
\end{align*}\right.
Notez $\ell$ une racine cubique de $2N_1^3-9N_1N_2+27N_3$ c’est-à-dire un nombre $\ell\in\C$ tel que $\ell^3 = 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.$
Alors il y a trois sous-cas.
Sous-cas a
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= 0 \\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3&= \ell.
\end{align*}\right.
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
N_1\\
0\\
\ell
\end{pmatrix}
Pour déterminer l’inverse de la matrice
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}
vous pouvez consulter un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 142.
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j^2 & j\\
1 & j & j^2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
N_1\\
0\\
\ell
\end{pmatrix} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix}
N_1+\ell\\
N_1+j\ell\\
N_1+j^2\ell
\end{pmatrix}
Sous-cas b
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= 0 \\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3&= j\ell.
\end{align*}\right.
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
N_1\\
0\\
j \ell
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j^2 & j\\
1 & j & j^2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
N_1\\
0\\
j\ell
\end{pmatrix} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix}
N_1+j\ell\\
N_1+j^2\ell\\
N_1+\ell
\end{pmatrix}
Sous-cas c
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= 0 \\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3&= j^2\ell.
\end{align*}\right.
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
N_1\\
0\\
j^2 \ell
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j^2 & j\\
1 & j & j^2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
N_1\\
0\\
j^2\ell
\end{pmatrix} =\frac{1}{3} \begin{pmatrix}
N_1+j^2\ell\\
N_1+\ell\\
N_1+j\ell
\end{pmatrix}.
Conclusion du premier cas : quand $N_1^2 – 3N_2 = 0$ et $\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 = 0$ les trois racines de l’équation $(E)$ sont $\frac{1}{3}(N_1 + \ell)\comma$ $\frac{1}{3}(N_1+j\ell)$ et $\frac{1}{3}(N_1+j^2\ell)$ où $\ell$ est une racine cubique (éventuellement complexe) du nombre $2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.$
Second cas : $\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3 = 0$
Alors $\alpha_1 +j\alpha_3 + j^2\alpha_2 = 0$ et
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_3+j^2\alpha_2 &= 0 \\
S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.
\end{align*}\right.
Du coup :
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_3+j^2\alpha_2 &= 0 \\
(\alpha_1 +j\alpha_2 + j^2\alpha_3)^3&= 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.
\end{align*}\right.
Vous en déduisez :
\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_3+j^2\alpha_2 &= 0 \\
(\alpha_1+ j^2\alpha_3 +j\alpha_2 )^3&= 2N_1^3-9N_1N_2+27N_3.
\end{align*}\right.
ce qui est exactement le cas 1 avec permutation de $\alpha_2$ et $\alpha_3\comma$ ce qui conduit au même résultat.
Concluez dans les deux cas regroupés
Si $N_1^2 – 3N_2 = 0\comma$ les trois racines de l’équation $(E)$ sont $\frac{1}{3}(N_1 + \ell)\comma$ $\frac{1}{3}(N_1+j\ell)$ et $\frac{1}{3}(N_1+j^2\ell)$ où $\ell$ est une racine cubique (éventuellement complexe) quelconque du nombre $2N_1^3-9N_1N_2+27N_3\comma$ égal à $2N_1^2N_1-9N_1N_2+27N_3$ puis à $6N_1N_2-9N_1N_2+27N_3$ ce qui fournit $-3N_1N_2+27N_3$ après simplification.
Déterminez la résolvante si le cas particulier est écarté
Hormis le cas particulier précédent, une équation de degré 3 peut être résolue à l’aide d’une équation intermédiaire de degré 2. Pourquoi et laquelle ?
Les expressions $S(\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3)$ et $P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ montrent que :
\begin{align*}
S(\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3) &=(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 + (\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3\\
P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= (\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 \times (\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.
\end{align*}
Pour plus de commodité dans les notations, posez $u=(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3$ et $v = (\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$
\begin{align*}
S(\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3) &=u+v\\
P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &= u \times v.
\end{align*}
En développant le polynôme $(X-u)(X-v)$ il vient $X^2-S(\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3)X +P(\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3).$
Cette analyse conduit à la conclusion suivante.
Les nombres $(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3$ et $(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3$ sont les deux racines du polynôme du second degré $X^2 – (2N_1^3-9N_1N_2+27N_3)X + (N_1^2-3N_2)^3\comma$ les nombres $N_1\comma$ $N_2$ et $N_3$ satisfaisant les égalités :
\boxed{\begin{align*}
N_1 &= \frac{-b}{a} \\
N_2 &= \frac{c}{a} \\
N_3 &= \frac{-d}{a}.
\end{align*}}
Déterminez l’expression des solutions hors cas particulier
Vous appelez « résolvante » l’équation du second degré suivante : $X^2 – (2N_1^3-9N_1N_2+27N_3)X + (N_1^2-3N_2)^3=0$ dans le cas où $N_1^2-3N_2\neq 0.$
Tout nombre complexe admettant une racine cubique, vous pouvez noter $k$ une racine cubique de l’une des racines du polynôme $X^2 – (2N_1^3-9N_1N_2+27N_3)X + (N_1^2-3N_2)^3.$
Notez alors que $k$ est non nul. Vous choisissez un nombre $k\in\C^{*}$ tel que $\boxed{(k^3)^2 – (2N_1^3-9N_1N_2+27N_3)k^3 + (N_1^2-3N_2)^3 = 0}.$
Les nombres $u$ et $v$ sont les deux solutions possibles de l’équation $X^2 – (2N_1^3-9N_1N_2+27N_3)X + (N_1^2-3N_2)^3 = 0.$ Or $k^3$ en est une.
Deux cas sont donc possibles.
Premier cas : $u = k^3$
Cela s’écrit $(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 = k^3$ du coup il y a trois sous-cas.
Sous-cas a : $\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 = k$
Vous avez :
\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1\\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= k\\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3 &= \frac{N_1^2-3N_2}{k}
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2 \\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
N_1\\
k\\
\frac{N_1^2-3N_2}{k}
\end{pmatrix}
\end{align*}
d’où :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3
\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\
1 & j^2 & j \\
1 & j & j^2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
N_1\\
k\\
\frac{N_1^2-3N_2}{k}
\end{pmatrix}
\end{align*}
Ainsi :
\left\{\begin{align*}
\alpha_1 &= \frac{1}{3}\left(N_1+k+ \frac{N_1^2-3N_2}{k} \right)\\
\alpha_2 &= \frac{1}{3}\left( N_1 + j^2k + \frac{jN_1^2-3jN_2}{k} \right) \\
\alpha_3 &= \frac{1}{3}\left( N_1 + jk +\frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k} \right)
\end{align*}\right.
Sous-cas b : $\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 = jk$
\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1\\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= jk\\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3 &= \frac{N_1^2-3N_2}{jk}
\end{align*}
\left\{\begin{align*}
\alpha_1 &= \frac{1}{3}\left(N_1+jk+ \frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k} \right)\\
\alpha_2 &= \frac{1}{3}\left( N_1 + k + \frac{N_1^2-3N_2}{k} \right) \\
\alpha_3 &= \frac{1}{3}\left( N_1 + j^2k +\frac{jN_1^2-3jN_2}{k} \right)
\end{align*}\right.
Sous-cas c : $\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 = j^2k$
\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1\\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= j^2k\\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3 &= \frac{N_1^2-3N_2}{j^2k}
\end{align*}
\left\{\begin{align*}
\alpha_1 &= \frac{1}{3}\left(N_1+j^2k+ \frac{jN_1^2-3jN_2}{k} \right)\\
\alpha_2 &= \frac{1}{3}\left( N_1 + jk + \frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k} \right) \\
\alpha_3 &= \frac{1}{3}\left( N_1 + k +\frac{N_1^2-3N_2}{k} \right)
\end{align*}\right.
Remarque : dans les trois sous-cas, vous constatez que les solutions, indépendamment de l’ordre, sont les mêmes.
Second cas : $v = k^3$
Ce cas, qui s’écrit $(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3 = k^3\comma$ revient au cas précédent en échangeant $\alpha_2$ et $\alpha_3.$
Concluez hors cas particulier
Pour résoudre l’équation de degré $3\comma$ vous formez l’équation du second degré suivante :
\boxed{X^2 + (-2N_1^3+9N_1N_2-27N_3)X + (N_1^2-3N_2)^3=0}
appelée résolvante. Si $N_1^2-3N_2 = 0\comma$ vous êtes dans le cas particulier évoqué. Sinon, vous appelez $k$ la racine cubique de l’une des deux solutions quelconques de cette résolvante.
Les trois solutions de l’équation de degré $3$ sont les nombres suivants : $\frac{1}{3}\left(N_1+k+ \frac{N_1^2-3N_2}{k} \right)\comma$ $\frac{1}{3}\left( N_1 + j^2k + \frac{jN_1^2-3jN_2}{k} \right)$ et $\frac{1}{3}\left( N_1 + jk +\frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k} \right).$
Pour plus de commodité, vous pourrez noter $\boxed{C = N_1^2-3N_2}$ et noter que les solutions s’obtiennent en calculant $\boxed{\frac{1}{3}\left(N_1 + z + \frac{C}{z}\right)}\comma$ lorsque $\boxed{z\in\{k, jk, j^2k\}.}$
Il est tout à fait remarquable de constater que ces solutions ne dépendent pas du choix de la racine cubique $k$ choisie.
Besoin de concret ?
Rendez-vous dans un autre article qui vous montrera un exemple direct de résolution utilisant cette méthode.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 144.
De même, allez jeter un œil dans un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 147.
