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139. Une équation du troisième degré

17/07/2020 - 0056

Soit à résoudre dans les nombres réels l’équation $(E) : x^3-15x-4=0.$

Etudiez les variations de la fonction $x\mapsto x^3-15x-4$

Pour tout réel $x$, posez $f(x)=x^3-15x-4.$

La fonction $f$ étant polynomiale, elle est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2-15 = 3(x^2-5) = 3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).$

De cette factorisation, vous déduisez que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty, -\sqrt{5}].$

Or, $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ et $f(-\sqrt{5}) = -5\sqrt{5}+15\sqrt{5}-4 = 10\sqrt{5}-4 = \sqrt{500}-\sqrt{16}$ par conséquent $f(-\sqrt{5})>0$. L’équation $(E)$ a donc exactement une solution appartenant à l’intervalle $]-\infty, -\sqrt{5}].$

De même, de la factorisation de la fonction $f’$, vous déduisez que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[ -\sqrt{5}, \sqrt{5}].$ Calculez $f(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5}-15\sqrt{5}-4 = -10\sqrt{5}-4$ ce qui montre que $f(\sqrt{5}) < 0$. Comme $f(-\sqrt{5})<0$, l’équation $(E)$ a donc exactement une solution appartenant à l’intervalle $[ -\sqrt{5}, \sqrt{5}].$

Enfin, de la factorisation de la fonction $f’$, vous déduisez que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[\sqrt{5},+\infty[.$ Or $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ et $f(\sqrt{5}) < 0$ donc l’équation $(E)$ a exactement une solution appartenant à l’intervalle $[ \sqrt{5}, +\infty[.$

Conclusion : l’équation $(E)$ possède exactement trois solutions réelles.

Cherchez si l’équation admet une solution entière

Soit $n$ un entier tel que $f(n)=0$. Alors $n^3-15n = 4$ donc $n(n^2-15)=4$ ce qui prouve que $n \mid 4$ et par suite $n\in\{4,2,1,-1,-2,-4\}$ ce qui limite le nombre de candidats à tester.

Prenez $n=4$. $f(4) = 16\times 4 – 15\times 4 – 4 = 4-4 = 0.$

L’entier $4$ est une solution de l’équation $(E).$

Déterminez les deux autres solutions de l’équation

Comme $4$ est solution de $(E)$, vous allez factoriser le polynôme $x^3-15x-4$ par $x-4$ successivement.

Posez $p(x) = x^3-15x-4.$

Ecrivez que $x^2(x-4) = x^3-4x^2$ et que $p(x) = x^3-15x-4$ puis effectuez une soustraction. Le degré du polynôme de droite diminue et passe de $3$ à $2$ : $p(x)+(-x^2)(x-4) = 4x^2-15x-4.$

Poursuivez. $4x(x-4) = 4x^2-16x$ et $p(x)+(-x^2)(x-4) = 4x^2-15x-4.$ Par soustraction, $p(x)+(-x^2-4x)(x-4) = x-4.$ Le degré a encore diminué et il est passé de $2$ à $1$.

Terminez $1(x-4) = x-4$ et $p(x)+(-x^2-4x)(x-4) = x-4.$ Par soustraction, $p(x)+(-x^2-4x-1)(x-4) = 0.$

Par conséquent $p(x) = (x-4)(x^2+4x+1).$

Déterminez les deux autres solutions de $(E)$ revient à résoudre l’équation de degré $2$ suivante : $x^2+4x+1 = 0.$ Celle-ci s’écrit $(x+2)^2-3 = 0$ soit $x = -2+\sqrt{3}$ ou $x=-2-\sqrt{3}.$

Concluez

L’équation $(E)$ admet pour ensemble de solutions réelles $\{4, -2+\sqrt{3}, -2-\sqrt{3}\}.$

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