Pour déterminer l’inverse de la matrice

où $j$ désigne un nombre complexe vérifiant $j^2+j+1 = 0$ ce qui amène, après multiplication par $j\comma$ à $j^3+j^2+j=0$ puis à $j^3 = 1\comma$ vous allez considérer l’endomorphisme de $\C^3$ défini par $f(z_1,z_2,z_3) = (z_1+z_2+z_3, z_1+jz_2+j^2z_3, z_1+j^2z_2+jz_3)$ et montrer qu’il est surjectif, ce qui en fera un automorphisme.

Calculez un antécédent de $(0,0,3)$ par $f$

Vous savez que $f(1,0,0) = (1,1,1)\comma$ que $f(0,1,0)=(1,j,j^2)$ et que $f(0,0,1) = (1,j^2,j).$

Alors $f(1,-1,0) = (0,1-j,1-j^2) = (0,1-j,2+j)$ et $f(1,0,-1) = (0,1-j^2,1-j) = (0,2+j,1-j).$

Du coup $f(1+2j,-2-j,1-j) = (0,0,3+6j) = (0,0,3(1+2j)).$

Or, $(1+2j)^2 = 4j^2+4j+1 = 4(-1-j)+4j+1 = -3$

donc :

Vous trouvez qu’une des colonnes de la matrice de départ vous donne quelque chose de remarquablement intéressant pour $f.$

Déterminez un antécédent de $(3,0,0)$ par $f$

L’intuition vous guide et vous amène à calculer $f(1,1,1) = (3, 1+j+j^2, 1+j^2+j) = (3,0,0)$ en prenant une autre colonne de la matrice de départ.

Déterminez un antécédent de $(0,3,0)$ par $f$

De même, prenez la dernière colonne non utilisée et calculez $f(1,j^2,j) = (1+j^2+j, 1+j^3+j^3, 1+j^4+j^2) = (0,3,1+j+j^2) = (0,3,0).$

Concluez

La surjection de $f$ étant établie, puisque tous les vecteurs de la base canonique de $\C^3$ admettent au moins un antécédent par $f\comma$ vous savez que $f$ est bien un automorphisme de $\C^3\comma$ par conséquent la matrice associée

est inversible et son inverse vérifie :

Appliquez ce calcul

Vous souhaitez résoudre l’équation de degré trois ? Elle se ramène à la résolution d’un système, que vous trouverez dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 141.