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142. Inversez une matrice en utilisant un endomorphisme associé

Pour déterminer l’inverse de la matrice $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}$ où $j$ désigne un nombre complexe vérifiant $j^2+j+1 = 0$ ce qui amène, après multiplication par $j$, à $j^3+j^2+j=0$ puis à $j^3 = 1$, vous allez considérer l’endomorphisme de $\C^3$ défini par $f(z_1,z_2,z_3) = (z_1+z_2+z_3, z_1+jz_2+j^2z_3, z_1+j^2z_2+jz_3)$ et montrer qu’il est surjectif, ce qui en fera un automorphisme.

Calculez un antécédent de $(0,0,3)$ par $f$

Vous savez que $f(1,0,0) = (1,1,1)$, que $f(0,1,0)=(1,j,j^2)$ et que $f(0,0,1) = (1,j^2,j).$

Alors $f(1,-1,0) = (0,1-j,1-j^2) = (0,1-j,2+j)$ et $f(1,0,-1) = (0,1-j^2,1-j) = (0,2+j,1-j).$

$f(2+j,-2-j,0) = (0,(1-j)(2+j), (2+j)^2) = (0,(1-j)(2+j), j^2+4j+4) = (0,(1-j)(2+j), 3j+3).$

$f(1-j,0,-1+j) = (0,(2+j)(1-j), (1-j)^2) = (0,(2+j)(1-j), j^2-2j+1)= (0,(2+j)(1-j), -3j).$

Du coup $f(1+2j,-2-j,1-j) = (0,0,3+6j) = (0,0,3(1+2j)).$

Or, $(1+2j)^2 = 4j^2+4j+1 = 4(-1-j)+4j+1 = -3$

donc

$\begin{align*}
f((1+2j)^2,(-2-j)(1+2j),(1-j)(1+2j)) &= (0,0,3(1+2j)^2) \\
f(-3,(-2-j)(1+2j),(1-j)(1+2j)) &= (0,0,-9)\\
f(-3, -2-4j-j-2j^2 , 1+2j-j-2j^2) &= (0,0,-9)\\
f(-3, -2-5j-2(-1-j) , 1+j-2(-1-j)) &= (0,0,-9)\\
f(-3, -2-5j+2+2j , 1+j+2+2j) &= (0,0,-9)\\
f(-3, -3j , 3+3j) &= (0,0,-9) \\
f(-1, -j , 1+j) &= (0,0,-3) \\
f(1, j , -1-j) &= (0,0,3)\\
f(1, j , j^2) &= (0,0,3).
\end{align*}$

Vous trouvez qu’une des colonnes de la matrice de départ vous donne quelque chose de remarquablement intéressant pour $f.$

Déterminez un antécédent de $(3,0,0)$ par $f$

L’intuition vous guide et vous amène à calculer $f(1,1,1) = (3, 1+j+j^2, 1+j^2+j) = (3,0,0)$ en prenant une autre colonne de la matrice de départ.

Déterminez un antécédent de $(0,3,0)$ par $f$

De même, prenez la dernière colonne non utilisée et calculez $f(1,j^2,j) = (1+j^2+j, 1+j^3+j^3, 1+j^4+j^2) = (0,3,1+j+j^2) = (0,3,0).$

Concluez

La surjection de $f$ étant établie, puisque tous les vecteurs de la base canonique de $\C^3$ admettent au moins un antécédent par $f$, vous savez que $f$ est bien un automorphisme de $\C^3$, par conséquent la matrice associée $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}$ est inversible et son inverse vérifie $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j & j^2\\
1 & j^2 & j
\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & j^2 & j\\
1 & j & j^2
\end{pmatrix}.$

Appliquez ce calcul

Vous souhaitez résoudre l’équation de degré 3 ? Elle se ramène à la résolution d’un système, que vous trouverez dans l'article 141.

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