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143. Expliquez pourquoi l’équation de degré 3 se ramène à une équation de degré 2

17/07/2020 - 0067

Soit $(a,b,c,d)\in\C^4$ un quadruplet de nombres complexes tel que $a$ soit non nul.
Considérez alors l’équation $(E) : ax^3+bx^2+cx+d = 0$ du troisième degré d’inconnue $x\in\C.$

Il existe trois nombres complexes, notés $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ tels que $aX^3+bX^2+cX+d$ soit égal par factorisation à $a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3).$ Ces trois nombres complexes désignent les racines du polynôme $aX^3+bX^2+cX+d$, qui peuvent ne pas être distinctes.

Note. Une précision peut être apportée sur ces racines quand les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ sont réels. Le polynôme $aX^3+bX^2+cX+d$ étant réel, l’une de ses racines est toujours un nombre réel, ce qui est justifié par l’étude des limites en $+\infty$ et $-\infty$ combiné au théorème des valeurs intermédiaires utilisable dans les réels. Alors un tel polynôme se factorise sous la forme $a(X-\alpha)Q(X)$ où $\alpha\in\R$ et $Q(X)$ un polynôme réel de degré $2$. Selon le signe du discriminant du polynôme $Q$, les deux racines de $Q$ sont : soit réelles et distinctes (discriminant strictement positif), soit réelles et identiques (discriminant nul), soit complexes conjuguées et non réelles (discriminant strictement négatif).

En développant le membre de droite :

$\begin{align*}
a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3) &= a(X^3 – (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)X^2\\
&\quad +(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3)X \\
&\quad -\alpha_1\alpha_2\alpha_3).
\end{align*}$

Par identification des coefficients du polynôme formel $aX^3+bX^2+cX+d$ il vient :

$\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= \frac{-b}{a}\\
\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3 &= \frac{c}{a} \\
\alpha_1\alpha_2\alpha_3 &= \frac{-d}{a}.
\end{align*}\right.$

Pour plus de commodité dans la suite, vous noterez :

$\boxed{\begin{align*}
N_1 &= \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 \\
N_2 &= \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3 \\
N_3 &=\alpha_1\alpha_2\alpha_3 .
\end{align*}}$

Soit $j$ une solution complexe non réelle de l’équation $1+j+j^2=0$.

En multipliant par $j$ vous constatez que $j+j^2+j^3 = 0$ si bien que $1+j+j^2+j^3 = 1$ et par suite $j^3=1.$

L’idée de ce qui va suivre s’inscrit dans le début de la théorie de Galois, d’après une méthode initiale tirée de Lagrange, datant de la fin du XVIIIème siècle.

Utilisez une somme bien choisie

Considérez l’expression suivante $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 +(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$

Vous allez montrer que cette expression est invariante par permutation. Autrement dit, pour toute permutation $\sigma$ de l’ensemble $\{1,2,3\}$, $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = S(\alpha_{\sigma(1)},\alpha_{\sigma(2)},\alpha_{\sigma(3)})$.

Pour démontrer ce résultat, il suffit de vérifier que $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = S(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = S(\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1)$ : en effet, toute permutation est produit de transpositions. Or toute transposition est produit de transpositions parmi $(1 2)$ et $(1 3)$, puisque $(2 3) = (1 2)(1 3)(1 2).$

$\begin{align*}
S(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) &= (\alpha_2 + j\alpha_1+j^2\alpha_3)^3 +(\alpha_2 + j^2\alpha_1+j\alpha_3)^3\\
&= j^3 (\alpha_2 + j\alpha_1+j^2\alpha_3)^3 +j^3(\alpha_2 + j^2\alpha_1+j\alpha_3)^3 \\
&=(j^2\alpha_1+j\alpha_2+\alpha_3)^3+(\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3\\
&=j^3(j^2\alpha_1+j\alpha_2+\alpha_3)^3+(\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3\\
&=(\alpha_1+j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3+(\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3\\
&=S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3).
\end{align*}$

De même

$\begin{align*}
S(\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1) &= (\alpha_3 + j\alpha_2+j^2\alpha_1)^3 +(\alpha_3 + j^2\alpha_2+j\alpha_1)^3 \\
&= (j^2\alpha_1+ j\alpha_2+\alpha_3)^3 +(j\alpha_1+ j^2\alpha_2+\alpha_3 )^3 \\
&= (\alpha_1+ j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3 +(j^2\alpha_1+\alpha_2+j\alpha_3 )^3 \\
&= (\alpha_1+ j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3 +(\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3 )^3 \\
&=S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3).
\end{align*}$

Comme l’expression $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ est polynomiale et invariante par permutation des variables, elle va pouvoir s’exprimer en fonction des quantités $N_1 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$, $N_2 = \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3$ et $N_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3$.

Utilisez maintenant le produit associé

Notez $P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3 \times (\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$

Pour les mêmes raisons, le produit $P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ est polynomial et reste invariant par permutation des variables. Il est donc calculable en fonction de $N_1$, $N_2$ et $N_3.$

Le calcul va être mené explicitement ici.

Commencez par développer le produit $(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)$ :

$\begin{align*}
(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3) &= \alpha_1^2 + j^2\alpha_1\alpha_2+j\alpha_1\alpha_3\\
&\quad +j\alpha_1\alpha_2+\alpha_2^3+j^2\alpha_2\alpha_3\\
&\quad +j^2\alpha_1\alpha_3+j\alpha_2\alpha_3+\alpha_3^2\\
&= \alpha_1^2 +\alpha_2^2 +\alpha_3^2 \\
&\quad +\alpha_1\alpha_2(j+j^2) + \alpha_1\alpha_3(j+j^2)+\alpha_2\alpha_3(j+j^2)\\
&= \alpha_1^2 +\alpha_2^2 +\alpha_3^2 + (j+j^2)(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3)\\
&= \alpha_1^2 +\alpha_2^2 +\alpha_3^2 – \alpha_1\alpha_2-\alpha_1\alpha_3-\alpha_2\alpha_3\\
&= N_1^2 – 2N_2 – N_2\\
\end{align*}$

Du coup $(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3) = N_1^2-3N_2.$

Et $\boxed{P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (N_1^2-3N_2)^3}.$

Concluez

Posez $u = (\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3$ et $v=(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$ Le polynôme de degré $2$ défini par $(X- u)(X- v)$ est égal, en développant à :

$X^2-S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)X+P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3).$

Il a été vu que la somme $S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ et le produit $P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ sont calculables en fonction de $N_1$, $N_2$ et $N_3$, qui sont eux aussi calculables en fonction des coefficients $a$, $b$, $c$ et $d.$

La résolution de l’équation du second degré $X^2-S(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)X+P(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$ donne ainsi accès aux valeurs de $(\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3)^3$ et de $(\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3)^3.$

Par extraction de racines cubiques, vous avez accès à des valeurs possibles pour les sommes $\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3$ et $\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3.$

Or la somme $\alpha_1 + \alpha_2+\alpha_3$ est égale à $N_1$ qui est connu.

Il vous suffit de résoudre le système obtenu comportant $3$ équations et $3$ inconnues pour obtenir la résolution complète, qui est de la forme indiquée ci-dessous.

$\left\{\begin{align*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 &= N_1 \\
\alpha_1 + j\alpha_2+j^2\alpha_3 &= \dots \\
\alpha_1 + j^2\alpha_2+j\alpha_3 &= \dots \\
\end{align*}\right.$

Un tel système peut être résolu en utilisant le calcul de l’inverse d’une matrice, effectué dans l'article 142.

Résolvez l’équation de degré 3 !

Pour passer aux calculs globaux, rendez-vous dans l'article 141.

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