Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non simultanément nuls.

Considérez le nombre complexe $z = a+ib.$ Le but de ce contenu est de démontrer qu’il existe $z’\in\C$ tel que $zz’=1$ et de calculer $z’$ en fonction des réels $a$ et $b.$

L’idée de départ, c’est que l’ensemble des nombres complexes est un $\R$-espace vectoriel de dimension $2\comma$ dont une base est $(1,i).$

Par conséquent, la famille $(1,z,z^2)$ est $\R$-liée : elle contient trois vecteurs dans un espace de dimension $2.$

Cela va permettre de calculer $\frac{1}{z}$ en utilisant les outils de l’algèbre linéaire.

Calculez le carré de $z$

Il s’agit maintenant d’éliminer le nombre complexe $i$ à partir de $z$ et de $z^2.$

Comme $z =a+ib$ vous avez $2az = 2a^2+2iab.$

Par soustraction :

Ainsi, $\boxed{z^2-2az+a^2+b^2=0.}$

Vous retrouvez bien le fait que $(1,z,z^2)$ est $\R$-liée.

Calculez le nombre $z’$

Comme $a$ et $b$ sont des réels, les nombres réels $a^2$ et $b^2$ sont positifs.

Le réel $a^2+b^2$ est non nul. En effet, si $a\neq 0\comma$ alors $a^2\gt0$ et donc $a^2+b^2\gt b^2\geq 0$ ce qui conclut. Sinon c’est que $b\neq 0$ et de même $b^2\gt0$ donc $a^2+b^2\gt a^2\geq 0.$

L’égalité encadrée précédente prouve que $a^2+b^2 = z\left(2a-z\right)$ et donc $1 = z\left(\frac{2a-z}{a^2+b^2}\right).$

Or $2a-z = 2a-a-ib = a-ib.$

Posez $z’ = \frac{a-ib}{a^2+b^2}$ alors $zz’ = 1.$

Concluez

D’après ce qui précède, $\boxed{\frac{1}{z} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}.}$

Cette expression est apparue sans faire appel de prime abord à l’expression conjuguée ou à l’identité remarquable $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ mais en partant d’un constat relatif à l’algèbre linéaire.