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149. Calculez l’inverse d’un nombre complexe

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non simultanément nuls.

Considérez le nombre complexe $z = a+ib.$ Le but de cet article est de démontrer qu’il existe $z’\in\C$ tel que $zz’=1$ et de calculer $z’$ en fonction des réels $a$ et $b.$

L’idée de départ, c’est que l’ensemble des nombres complexes est un $\R$-espace vectoriel de dimension $2$ (dont une base est $(1,i)$.)

Par conséquent, la famille $(1,z,z^2)$ est $\R$-liée : elle contient trois vecteurs dans un espace de dimension $2$.

Cela va permettre de calculer $\frac{1}{z}$ en utilisant les outils de l’algèbre linéaire.

Calculez le carré de $z$

$\begin{align*}
z^2 &= (a+ib)^2\\
&= a^2+(ib)^2+2iab\\
&=a^2-b^2+2iab
\end{align*}$

Il s’agit maintenant d’éliminer le nombre complexe $i$ à partir de $z$ et de $z^2.$

Comme $z =a+ib$ vous avez $2az = 2a^2+2iab.$

Par soustraction :

$\begin{align*}
z^2-2az &= a^2-b^2-2a^2\\
&=-a^2-b^2\\
&=-(a^2+b^2).
\end{align*}$

Ainsi, $\boxed{z^2-2az+a^2+b^2=0.}$

Vous retrouvez bien le fait que $(1,z,z^2)$ est $\R$-liée.

Calculez le nombre $z’$

Comme $a$ et $b$ sont des réels, les nombres réels $a^2$ et $b^2$ sont positifs.

Le réel $a^2+b^2$ est non nul. En effet, vous pouvez avoir $a\neq 0$ et $a^2>0$ et donc $a^2+b^2>b^2\geq 0$ ce qui conclut. Sinon c’est que $b\neq 0$ et de même $b^2>0$ donc $a^2+b^2>a^2\geq 0.$

L’égalité précédente du paragraphe précédent prouve que $a^2+b^2 = z\left(2a-z\right)$ et donc $1 = z\left(\frac{2a-z}{a^2+b^2}\right).$

Or $2a-z = 2a-a-ib = a-ib.$

Posez $z’ = \frac{a-ib}{a^2+b^2}$ alors $zz’ = 1.$

Concluez

D’après ce qui précède, $\boxed{\frac{1}{z} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}.}$

Cette expression est apparue sans faire appel de prime abord à l’expression conjuguée ou à l’identité remarquable $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ mais en partant d’un constat relatif à l’algèbre linéaire.

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