Votre navigateur n'accepte pas le Javascript. La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

150. Calculez les deux racines carrées du nombre complexe $i$

Vous allez procéder par analyse synthèse.

Analyse

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z^2 = i.$

Il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $z = a+ib.$

Puis vous développez :

$\begin{align*}
z^2 &= (a+ib)^2\\
&=a^2-b^2+2iab.
\end{align*}$

Par identification de la partie réelle et de la partie imaginaire, vous déduisez que $a^2-b^2 = 0$ et que $2ab = 1.$

$a^2-b^2=0$ fournit $(a-b)(a+b)=0$ soit $a=b$ ou $a=-b.$

Cas n°1 : $a=b$

La relation $2ab = 1$ fournit $2a^2=1$ soit $4a^2 = 2$ donc $(2a)^2 = 2$ donc $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Cas n°2 : $a=-b$

La relation $2ab=1$ s’écrit $2a^2 = -1$ qui aboutit à une impossibilité car un réel possède toujours un carré positif.

Résumé de l’analyse

Si $i$ admet une racine carrée $z$, alors $z\in\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}.$

Synthèse

Posez $z = \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Alors

$\begin{align*}
z^2 &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\
&= \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(1+i)^2\\
&=\frac{2}{4}(1-1+2i)\\
&=\frac{1}{2}(2i)\\
&=i.
\end{align*}$

Donc $ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ est bien une racine carrée de $i.$

Pour l’autre possibilité retenue par l’analyse, posez $z’ = -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Comme $z’=-z$ vous déduisez $(z’)^2 = (-z)^2 = z^2 = i$ donc $z’$ est aussi une racine carrée de $i.$

Concluez

Dans l’ensemble $\C$ le nombre $i$ possède exactement deux racines carrées qui sont $ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $ -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.