Vous allez procéder par analyse synthèse.
Analyse
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z^2 = i.$
Il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $z = a+ib.$
Puis vous développez :
\begin{aligned}
z^2 &= (a+ib)^2\\
&=a^2-b^2+2iab.
\end{aligned}
Par identification de la partie réelle et de la partie imaginaire, vous déduisez que $a^2-b^2 = 0$ et que $2ab = 1.$
$a^2-b^2=0$ fournit $(a-b)(a+b)=0$ soit $a=b$ ou $a=-b.$
Cas n°1 : $a=b$
La relation $2ab = 1$ fournit $2a^2=1$ soit $4a^2 = 2$ donc $(2a)^2 = 2$ donc $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Cas n°2 : $a=-b$
La relation $2ab=1$ s’écrit $2a^2 = -1$ qui aboutit à une impossibilité car un réel possède toujours un carré positif.
Résumé de l’analyse
Si $i$ admet une racine carrée $z$, alors $z\in\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}.$
Synthèse
Posez $z = \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}.$
Alors \begin{aligned}
z^2 &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\
&= \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(1+i)^2\\
&=\frac{2}{4}(1-1+2i)\\
&=\frac{1}{2}(2i)\\
&=i.
\end{aligned}
Donc $ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ est bien une racine carrée de $i.$
Pour l’autre possibilité retenue par l’analyse, posez $z’ = -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Comme $z’=-z$ vous déduisez $(z’)^2 = (-z)^2 = z^2 = i$ donc $z’$ est aussi une racine carrée de $i.$
Concluez
Dans l’ensemble $\C$ le nombre $i$ possède exactement deux racines carrées qui sont $ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $ -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}.$
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