École AVOSZ

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150. Calculez les deux racines carrées du nombre complexe i

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Vous allez procéder par analyse-synthèse.

Analyse

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z^2 = i.$

Il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $z = a+ib.$

Puis vous développez :

\begin{align*} z^2 &= (a+ib)^2\\ &=a^2-b^2+2iab. \end{align*}

Par identification de la partie réelle et de la partie imaginaire, vous déduisez que $a^2-b^2 = 0$ et que $2ab = 1.$

L’égalité $a^2-b^2=0$ fournit $(a-b)(a+b)=0$ soit $a=b$ ou $a=-b.$

Cas n°1 : $a=b$

La relation $2ab = 1$ fournit $2a^2=1$ soit $4a^2 = 2$ donc $(2a)^2 = 2$ donc $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Cas n°2 : $a=-b$

La relation $2ab=1$ s’écrit $2a^2 = -1$ qui aboutit à une impossibilité car un réel possède toujours un carré positif.

Résumé de l’analyse

Si $i$ admet une racine carrée $z\comma$ alors $z\in\left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}.$

Synthèse

Posez $z = \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Alors

\begin{align*} z^2 &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\ &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(1+i)^2\\ &=\frac{2}{4}(1-1+2i)\\ &=\frac{1}{2}(2i)\\ &=i. \end{align*}

Donc $\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ est bien une racine carrée de $i.$

Pour l’autre possibilité retenue par l’analyse, posez $z’ = -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Comme $z’=-z$ vous déduisez $(z’)^2 = (-z)^2 = z^2 = i$ donc $z’$ est aussi une racine carrée de $i.$

Concluez

Dans l’ensemble $\C\comma$ le nombre $i$ possède exactement deux racines carrées qui sont $ \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $ -\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}.$