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159. Démonstration de la convergence d’une suite qui donne la racine carrée entière d’un nombre entier (partie 2/2)

Soit $N$ un nombre naturel supérieur ou égal à $1$. Pour tout réel $x$, notez $\left\lfloor x \right\rfloor$ la partie entière de $x$, désignant le plus grand entier inférieur ou égal à $x.$

Pour simplifier les notations, définissez la fonction $f$ sur $\N^{*}$ par $\forall n\in\N^{*}, f(n) =\left\lfloor \frac{n+\left\lfloor \frac{N}{n}\right\rfloor}{2}\right\rfloor.$

Considérez la suite définie par $u_0 = N$ et $\forall n\in\N, u_{n+1}=\begin{cases}
f(u_n) \quad\text{ si } f(u_n) < u_n\\
u_n \quad\text{ si } f(u_n) \geq u_n.\\
\end{cases}$

Cet article a pour but de démontrer que la suite $(u_n)$ est stationnaire à partir d’un certain rang et que sa limite est égale à la racine carrée entière de $N$, c’est–à-dire à l’unique entier $m$ tel que $m^2\leq N < (m+1)^2.$

Démontrez que la suite est stationnaire

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est lui-même un entier naturel.

Considérez l’ensemble $A=\{u_n, n\in\N\}$, c’est une partie de $\N$ qui contient $u_0 =N$ donc $A$ admet un plus petit élément noté $m.$

Par définition de $m$, il existe un entier $p\in\N$ tel que $m = u_p.$ L’existence de cet entier $p$ sera utilisée dans toute la suite du présent article.

Soit maintenant $k$ un entier naturel. Notez $P(k)$ la propriété $u_{p+k} = u_p.$

Initialisation. Pour $k=0$, $p+k = p$ et $u_{p+k} = u_p$ donc $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $k\in\N$. Supposez $P(k).$

Si $f(u_{p+k})$ était strictement inférieur à $u_{p+k}$, par définition de la suite, $u_{p+k+1}$ serait strictement inférieur à $u_{p+k} = u_p = m$, ce qui contredirait que $m$ est le minimum de $A$.

Donc $f(u_{p+k})\geq u_{p+k}$ et $u_{p+k+1} = u_{p+k} = u_p.$ Donc $P(k+1)$ est vérifiée.

Il est ainsi établi que $\forall k\in\N, u_{p+k} = u_p = m$ donc $\forall n\geq p, u_n = m.$

Etudiez la limite de la suite

D’après ce qui a été établi dans l'article 158, vous avez $\forall n\in\N, u_n\geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor$. En choisissant l’entier $n=p$, vous obtenez la minoration $m\geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor.$

Supposez un instant que $m \neq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor.$ Alors $m \geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor + 1$, ce qui s’écrit $u_p \geq \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor + 1.$ La suite étant stationnaire à partir du rang $p$, vous avez $f(u_p)\geq u_p$ donc $\left\lfloor \frac{u_p+\left\lfloor \frac{N}{u_p} \right\rfloor}{2}\right\rfloor \geq u_p.$

Or, dans dans l'article 158, vous avez montré que $\forall n\in\N^{*}, f(n) = \left\lfloor \frac{n+ \frac{N}{n}}{2}\right\rfloor$, donc $\left\lfloor \frac{u_p+\frac{N}{u_p}}{2}\right\rfloor \geq u_p.$

Comme $u_p$ est un entier, cela s’écrit $\left\lfloor \frac{u_p+\frac{N}{u_p}}{2}\right\rfloor -u_p\geq 0$, soit $\left\lfloor \frac{u_p+\frac{N}{u_p}}{2} – u_p\right\rfloor \geq 0$ soit $\left\lfloor \frac{-u_p+\frac{N}{u_p}}{2} \right\rfloor \geq 0$ soit $\left\lfloor \frac{N-u_p^2}{2u_p} \right\rfloor \geq 0.$

Par définition de la partie entière, $ \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor + 1 > \sqrt{N}$ donc $u_p > \sqrt{N}$ et donc $u_p^2> N$ donc $ \frac{N-u_p^2}{2u_p} $ est un réel strictement négatif. Du coup, la majoration $\left\lfloor \frac{N-u_p^2}{2u_p} \right\rfloor \leq \frac{N-u_p^2}{2u_p} < 0$ contredit la minoration $\left\lfloor \frac{N-u_p^2}{2u_p} \right\rfloor \geq 0.$

Vous déduisez donc que $m = \left\lfloor \sqrt{N} \right\rfloor.$

Donc $m \leq \sqrt{N} < m+1$ et par suite $m^2 \leq N < (m+1)^2$, ce qui termine la démonstration.

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