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163. Les coefficients du polynôme nul sont tous nuls

Soit $f$ une fonction polynomiale réelle, autrement dit, il existe un entier naturel $n$ et des nombres réels $a_0$, $\dots$, $a_n$ tels que $\forall x\in\R, f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k.$

Supposez que $\forall x\in\R, f(x)=0$. Cela entraîne-t-il que $a_0 = \dots = a_n = 0$ ? La réponse est oui.

Utilisez la contraposée

Pour démontrer le résultat ci-dessus, vous allez supposer qu’il existe $i$ compris entre $0$ et $n$ tel que $a_i\neq 0$ et montrer alors, qu’il existe un réel $x$ tel que $f(x)\neq 0.$

Par hypothèse, l’ensemble $A=\{k\in[0,n]\cap \N, a_k\neq 0\}$ est non vide. C’est une partie de $\N$ majorée par $n$, qui admet un plus grand élément. Notez $m = \mathrm{Max} A.$

L’idée c’est que le terme en $a_mx^m$, non nul, va dominer tous les autres, dès que $x$ est suffisamment grand.

Pour tout réel $x$, $f(x) = \sum_{k=0}^m a_kx^k.$

Si $m=0$, alors $\forall x\in\R, f(x) = a_m$, or $a_m\neq 0$ donc $f(0)\neq 0$ et le résultat est acquis.

Si $m\geq 1$, vous scindez la somme en deux. $\forall x\in\R, f(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_kx^k + a_mx^m$

Soit $x$ un réel supérieur ou égal à $1.$ Remarquez que $\forall k\in[0,m-1]\cap \N, x^k \leq x^{m-1}$ ce qui aboutit à la majoration :

$\begin{align*}
\left\lvert\sum_{k=0}^{m-1} a_kx^k \right\rvert &\leq \sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert x ^k\\
&\leq \left(\sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert\right) x ^{m-1}.
\end{align*}$

Comme $a_m$ est non nul, le nombre réel $R = 1+\frac{\sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert}{\vert a_m \vert }$ est bien défini.

Soit maintenant un nombre réel $x$ tel que $x> 1+\frac{\sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert}{\vert a_m \vert }.$ Un tel nombre $x$ peut toujours être trouvé vu que $\R$ n’est pas majoré.

Alors $\sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert < \vert a_m \vert x.$ De plus $x$, est supérieur ou égal à $1$, d’où les majorations suivantes :

$\begin{align*}
\left\lvert\sum_{k=0}^{m-1} a_kx^k \right\rvert &\leq \sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert x ^k\\
&\leq \left(\sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert\right) x ^{m-1}\\
&< \vert a_m \vert x^m.
\end{align*}$

Ce résultat s’écrit $\left\lvert \sum_{k=0}^{m-1} a_kx^k \right\rvert < \left\lvert – a_m x^m \right\rvert$ et cela implique $\sum_{k=0}^{m-1} a_kx^k \neq -a_mx^m$ et donc $f(x)\neq 0.$

Application : localisation des racines éventuelles d’un polynôme

Soit $n\in\N$ et $a_0$, $\dots$, $a_n$ des réels tels que $a_n\neq 0.$

Soit $f$ la fonction polynômiale définie par $\forall x\in\R, f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k.$

Soit $x$ un nombre réel tel que $f(x) = 0$, un tel $x$ est appelé racine du polynôme ci-dessus. Alors $x \in [-R, R]$ où $R$ est le réel défini par $1+\frac{\sum_{k=0}^{m-1} \vert a_k \vert}{\vert a_m \vert }.$

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