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164. Le nombre racine de 6 moins racine de 2 moins racine de 3 est irrationnel

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Posez $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$

Vous allez déterminer un polynôme à coefficients entiers qui annule le nombre réel $x.$

Ce contenu va privilégier une démarche inspirée des espaces vectoriels. Vous trouverez une autre façon de procéder dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 165.

Comme vous avez trois racines carrées à éliminer, il vous faut quatre relations. Vous avez déjà $x.$

Calculez les puissances $x^2\comma$ $x^3$ et $x^4$

Vous calculez donc $x^2\comma$ $x^3$ et $x^4$ de sorte qu’avec $x\comma$ vous aurez bien quatre relations.

\begin{align*} x^2 &= 6 + 2 + 3-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}+2\sqrt{6}\\ &=11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}. \end{align*}
\begin{align*} x^3 &= (11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3})\\ &=11\sqrt{6}-11\sqrt{2}-11\sqrt{3}\\ &\quad +2\times 6-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}\\ &\quad -6\sqrt{12}+6\times 2+6\sqrt{6}\\ &\quad -4\sqrt{18}+4\sqrt{6}+4\times 3\\ &=11\sqrt{6}-11\sqrt{2}-11\sqrt{3}\\ &\quad +12-4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\\ &\quad +12+6\sqrt{6}-12\sqrt{3}\\ &\quad 12+4\sqrt{6}-12\sqrt{2}\\ &=36+21\sqrt{6}-29\sqrt{2}-27\sqrt{3}. \end{align*}
\begin{align*} x^4 &= (x^2)^2\\ &=(11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3})^2\\ &=121+4\times 6+36\times 2+16\times 3\\ &\quad +44\sqrt{6}-132\sqrt{2}-88\sqrt{3}\\ &\quad -24\sqrt{12}-16\sqrt{18}\\ &\quad +48\sqrt{6}\\ &=121+24+72+48\\ &\quad +44\sqrt{6}-132\sqrt{2}-88\sqrt{3}\\ &\quad -48\sqrt{3}-48\sqrt{2}\\ &\quad +48\sqrt{6}\\ &=265+92\sqrt{6}-180\sqrt{2}-136\sqrt{3}. \end{align*}

Éliminez les racines carrées

D’après ce qui précède, vous avez obtenu :

\left\{\begin{align*} x&= \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3} & L_1\\ x^2 -11 &=2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}& L_2\\ x^3-36 &=21\sqrt{6}-29\sqrt{2}-27\sqrt{3} & L_3\\ x^4-265 &=92\sqrt{6}-180\sqrt{2}-136\sqrt{3}. & L_4 \end{align*}\right.

Effectuez les opérations d’élimination suivantes :

\begin{align*} L_2&\leftarrow L_2-4L_1\\ L_3&\leftarrow L_3-27L_1\\ L_4&\leftarrow L_4-136L_1. \end{align*}
\left\{\begin{align*} x^2 -4x-11 &=-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}& L'_1\\ x^3-27x-36 &=-6\sqrt{6}-2\sqrt{2} & L'_2\\ x^4-136x-265 &=-44\sqrt{6}-44\sqrt{2}. & L'_3 \end{align*}\right.

Vous pourriez recommencer et éliminer $\sqrt{2}$ puis $\sqrt{6}\comma$ mais ici, vous constatez la proportionnalité des coefficients des lignes $L’_1$ et $L’_3\comma$ ce qui amène à former $-22L’_1+L’_3.$

Vous obtenez alors :

x^4-136x-265-22(x^2 -4x-11) = 0

d’où :

\boxed{x^4-22x^2-48x-23=0.}

Démontrez l’irrationalité du nombre réel $x$

Par l’absurde, supposez que $x\in\Q.$ Alors $x$ admet un représentant dit irréductible.

Il existe $m\in\Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $x=\frac{m}{n}$ et $\pgcd(m,n)=1.$

En substituant dans la relation $x^4-22x^2-48x-23=0$ vous obtenez :

\frac{m^4}{n^4}-22\frac{m^2}{n^2}-48\frac{m}{n}-23=0.

Vous multipliez le tout par $n^4\comma$ ce qui donne :

Il vient $m^4-22n^2m^2-48mn^3-23n^4=0\comma$ ce qui s’écrit $m^4 = n(22nm^2-48mn^2-23n^3).$

Ce résultat prouve que $n \mid m^4.$

Ne souhaitant pas, une fois de plus, appliquer le théorème de Gauss mais le lemme d’Euclide, vous raisonnez encore par l’absurde.

Supposez un instant que $n\geq 2.$ Alors $n$ est divisible par un nombre premier $p.$

Comme $p \mid n$ et $n \mid m^4$ vous obtenez $p \mid m^4.$ Par application du lemme d’Euclide, vous déduisez $p \mid m.$

L’entier $p$ divise à la fois $n$ et $m$ donc il est inférieur ou égal à $\pgcd(n,m).$ Donc $p \leq 1.$ Or, $p$ étant un nombre premier, vous avez $p\geq 2\comma$ contradiction.

Ainsi, l’entier $n$ est égal à $1.$

Donc $x = m$ et $x$ est entier.

Or, $1{,}4^2 = 1{,}96$ et $1{,}5^2 = 2{,}25$ donc $1{,}4 \lt \sqrt{2} \lt 1{,}5.$

De même, $1{,}7^2 = 2{,}89$ et $1{,}8^2 = 3{,}24$ donc $1{,}7\lt \sqrt{3} \lt 1{,}8.$

En multipliant les deux relations ci-dessus, vous obtenez $2{,}38 \lt \sqrt{6} \lt 2{,}7.$

Maintenant constatez que :

\begin{align*} -1{,}5 &\lt -\sqrt{2} &\lt-1{,}4\\ -1{,}8 &\lt -\sqrt{3} &\lt -1{,}7\\ 2{,}38 &\lt \sqrt{6} &\lt 2{,}7. \end{align*}

Par somme, vous obtenez $-0{,}92 \lt x \lt -0{,}4$ donc $-1 \lt x \lt 0$ ce qui prouve que $x$ est situé strictement entre deux entiers consécutifs, par conséquent $x$ ne peut être entier, contradiction.

Concluez

Le nombre $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$ est solution d’une équation polynomiale de degré quatre à coefficients entiers.

Cela permet de montrer que, si $x\in\Q\comma$ alors $x\in\Z.$

Or, un encadrement de $x$ permet de montrer que $x\notin\Z\comma$ donc $x\notin\Q.$