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164. Le nombre racine de 6 moins racine de 2 moins racine de 3 est irrationnel

17/07/2020 - 0063

Posez $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$

Vous allez déterminer un polynôme à coefficients entiers qui annule le nombre réel $x$.

Cet article va privilégier une démarche inspirée des espaces vectoriels. Vous trouverez une autre façon de procéder dans l'article 165.

Comme vous avez $3$ racines à éliminer, il vous faut $4$ relations. Vous avez déjà $x$.

Calculez les puissances $x^2$, $x^3$ et $x^4$

Vous calculez donc $x^2$, $x^3$ et $x^4$ de sorte qu’avec $x$, vous aurez bien 4 relations.

$\begin{align*}
x^2 &= 6 + 2 + 3-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}+2\sqrt{6}\\
&=11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}.
\end{align*}$

$\begin{align*}
x^3 &= (11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3})\\
&=11\sqrt{6}-11\sqrt{2}-11\sqrt{3}\\
&\quad +2\times 6-2\sqrt{12}-2\sqrt{18}\\
&\quad -6\sqrt{12}+6\times 2+6\sqrt{6}\\
&\quad -4\sqrt{18}+4\sqrt{6}+4\times 3\\
&=11\sqrt{6}-11\sqrt{2}-11\sqrt{3}\\
&\quad +12-4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\\
&\quad +12+6\sqrt{6}-12\sqrt{3}\\
&\quad 12+4\sqrt{6}-12\sqrt{2}\\
&=36+21\sqrt{6}-29\sqrt{2}-27\sqrt{3}.
\end{align*}$

$\begin{align*}
x^4 &= (x^2)^2\\
&=(11+2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3})^2\\
&=121+4\times 6+36\times 2+16\times 3\\
&\quad +44\sqrt{6}-132\sqrt{2}-88\sqrt{3}\\
&\quad -24\sqrt{12}-16\sqrt{18}\\
&\quad +48\sqrt{6}\\
&=121+24+72+48\\
&\quad +44\sqrt{6}-132\sqrt{2}-88\sqrt{3}\\
&\quad -48\sqrt{3}-48\sqrt{2}\\
&\quad +48\sqrt{6}\\
&=265+92\sqrt{6}-180\sqrt{2}-136\sqrt{3}.
\end{align*}$

Eliminez les racines carrées

D’après ce qui précède, vous avez obtenu :

$\left\{\begin{align*}
x&= \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3} & L_1\\
x^2 -11 &=2\sqrt{6}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}& L_2\\
x^3-36 &=21\sqrt{6}-29\sqrt{2}-27\sqrt{3} & L_3\\
x^4-265 &=92\sqrt{6}-180\sqrt{2}-136\sqrt{3}. & L_4
\end{align*}\right.$

Effectuez les opérations d’élimination suivantes :

$\begin{align*}
L_2&\leftarrow L_2-4L_1\\
L_3&\leftarrow L_3-27L_1\\
L_4&\leftarrow L_4-136L_1.
\end{align*}$

$\left\{\begin{align*}
x^2 -4x-11 &=-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}& L’_1\\
x^3-27x-36 &=-6\sqrt{6}-2\sqrt{2} & L’_2\\
x^4-136x-265 &=-44\sqrt{6}-44\sqrt{2}. & L’_3
\end{align*}\right.$

Vous pourriez recommencer et éliminer $\sqrt{2}$ puis $\sqrt{6}$, mais ici, vous constatez la proportionnalité des coefficients des lignes $L’_1$ et $L’_3$, ce qui amène à former $-22L’_1+L’_3.$

Vous obtenez alors :

$x^4-136x-265-22(x^2 -4x-11) = 0$

d’où :

$\boxed{x^4-22x^2-48x-23=0.}$

Démontrez l’irrationalité du nombre réel $x$

Par l’absurde, supposez que $x\in\Q.$ Alors $x$ admet un représentant dit irréductible.

Il existe $m\in\Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $x=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(m,n)=1.$

En substituant dans la relation $x^4-22x^2-48x-23=0$ vous obtenez :

$\frac{m^4}{n^4}-22\frac{m^2}{n^2}-48\frac{m}{n}-23=0.$

Vous multipliez le tout par $n^4$ :

$m^4-22n^2m^2-48mn^3-23n^4=0$, ce qui s’écrit $m^4 = n(22nm^2-48mn^2-23n^3).$

Ce résultat prouve que $n \mid m^4.$

Ne souhaitant pas, une fois de plus, appliquer le théorème de Gauss mais le lemme d’Euclide, vous raisonnez encore par l’absurde.

Supposez un instant que $n\geq 2.$ Alors $n$ est divisible par un nombre premier $p.$

Comme $p \mid n$ et $n \mid m^4$ vous obtenez $p \mid m^4.$ Par application du lemme d’Euclide, vous déduisez $p \mid m.$

L’entier $p$ divise à la fois $n$ et $m$ donc il est inférieur ou égal à $\mathrm{PGCD}(n,m).$ Donc $p \leq 1.$ Or, $p$ étant un nombre premier, vous avez $p\geq 2$, contradiction.

Ainsi, l’entier $n$ est égal à $1$.

Donc $x = m$ et $x$ est entier.

Or, $1,4^2 = 1,96$ et $1,5^2 = 2,25$ donc $1,4 < \sqrt{2} < 1,5.$

$1,7^2 = 2,89$ et $1,8^2 = 3,24$ donc $1,7< \sqrt{3} < 1,8.$

En multipliant les deux relations ci-dessus, vous obtenez $2,38 < \sqrt{6} < 2,7.$

Maintenant constatez que :

$\begin{align*}
-1,5 &< -\sqrt{2} &<-1,4\\
-1,8 &< -\sqrt{3} &< -1,7\\
2,38 &< \sqrt{6} &< 2,7.
\end{align*}$

Par somme, vous obtenez $ -0,92 < x < -0,4$ donc $-1 < x < 0$ ce qui prouve que $x$ est situé strictement entre deux entiers consécutifs, par conséquent $x$ ne peut être entier, contradiction.

Concluez

Le nombre $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$ est solution d’une équation polynomiale de degré 4 à coefficients entiers.

Cela permet de montrer que, si $x\in\Q$, alors $x\in\Z.$

Or, un encadrement de $x$ permet de montrer que $x\notin\Z,$ donc $x\notin\Q.$

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