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162. Etude des représentants d’un nombre rationnel et irrationalité de $\sqrt{2}$

L’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{a}{b}, a\in\Z, b\in\N^{*}\right\}.$

C’est l’ensemble des quotients de deux nombres entiers, dont le dénominateur non nul peut toujours être choisi pour être positif.

Soit $q\in\Q$. Vous allez démontrer qu’il existe un unique entier $m\in\Z$ et un unique entier $n\in\N^{*}$ vérifiant les deux conditions : $q=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(m,n)=1.$

La condition $\mathrm{PGCD}(m,n)=1$ signifie que, si $k$ est un diviseur commun aux nombres $m$ et $n$, alors $k=1$, autrement dit la fraction $\frac{m}{n}$ est irréductible.

Démontrez d’abord l’existence des entiers $m$ et $n$

Soit $q\in\Q$. Par définition de l’ensemble $\Q$, il existe $u\in\Z$ et $v\in\N^{*}$ tels que $q=\frac{u}{v}.$

L’ensemble $A=\left\{b\in\N^{*}, \exists a\in\Z, q=\frac{a}{b}\right\}$ est une partie non vide de $\N$ puisqu’elle contient $v.$

Notez alors $n = \mathrm{Min} A$ le plus petit élément de $A.$

Par définition de $n$, il existe $m\in\Z$ tel que $q = \frac{m}{n}.$

Il s’agit maintenant de voir pourquoi le PGCD des entiers $m$ et $n$ est égal à $1$.

Supposez que cela ne soit pas le cas, et que $\mathrm{PGCD}(n,m) \geq 2.$

Notez $k\in\N^{*}$ ce nombre. Par définition du PGCD, il existe $n’\in\N^{*}$ et $m’\in \Z$ tels que $n = kn’$ et $m = km’$, avec $n'<n$ compte tenu du fait que $k \geq 2$.

Alors $q = \frac{m}{n}=\frac{km’}{kn’} = \frac{m’}{n’}$ donc $n’\in A.$ Or la condition $n'<n$ avec $n = \mathrm{Min} A$ implique $n’ \notin A$, contradiction.

L’existence des entiers $m$ et $n$ tels que $q=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(n,m)=1$ est démontrée.

Démontrez l’unicité des entiers $m$ et $n$

Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{a}{b}= \frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(a,b)=1.$

Alors par produit en croix $an = bm$ donc $n \mid bm.$ Or $\mathrm{PGCD}(n,m)=1$ donc par le théorème de Gauss $n \mid b.$

De même, $b \mid an$ et $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ donc par le théorème de Gauss $b\mid n$.

Il en résulte que $n = b$ et l’égalité $an = bm$ devient $an=nm$ d’où $n(a-m)=0$ et comme $n$ est non nul, $a-m=0$ et $a=m$, d’où l’unicité.

Démontrez que tout représentant s’écrit en utilisant le représentant irréductible

Soit $q\in\Q$. Il a été vu qu’il existe un unique $n\in\N^{*}$, un unique $m\in\Z$ tels que $q = \frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(n,m)=1.$

Soit maintenant $a\in\Z$ et $b\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{a}{b}.$

Vous allez montrer, sans utiliser le théorème de Gauss, qu’il existe un entier $k\in\N^{*}$ tel que $a = km$ et $b = kn.$

Pour le voir, effectuez la division euclidienne de $b$ par $n$.

Il existe $k\in\N$ et $r\in\N$ tels que $b = kn + r$ avec $r< n.$

De $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$ vous tirez $an = bm$ et donc $an-nmk = bm-nmk$ soit $n(a-km)=m(b-kn)$ ce qui s’écrit $n(a-km)=mr.$

Si $r$ était non nul, alors $\frac{a-km}{r} = \frac{m}{n}$ et par suite $r\in A.$ Mais $r<n$ combiné avec $n =\mathrm{Min}A$ implique $r\notin A$, contradiction.

Donc $r = 0.$ Cela prouve $b = kn.$ Comme $b$ est non nul, $k\in\N^{*}$.

Comme $an=bm$, vous avez $an = kmn$ et comme $n$ est non nul, vous déduisez $a=km$ comme annoncé.

Application : le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel

Supposez que $\sqrt{2}\in\Q.$ Alors il existe $m\in\Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ et $\mathrm{PGCD}(m,n)=1.$

Notez que comme $\sqrt{2}$ est strictement positif, vous avez $m\in\N^{*}.$

En élevant au carré vous obtenez $2 = \frac{m^2}{n^2}$ soit $m^2 = 2n^2.$

Ainsi $n \mid m^2$ soit $n \mid m\times m.$ Or $\mathrm{PGCD}(n,m)=1$ donc $n \mid m$ toujours par le théorème de Gauss.

Comme $n\mid m$ et $n\mid n$ il en résulte de la définition du PGCD que $n\leq \mathrm{PGCD}(n,m)$ et donc $n=1$. Par suite $m^2 = 2.$

Si $m = 1$ vous déduisez en élevant au carré $m ^2 = 1$ ce qui est absurde.

Donc $ m \geq 2$ mais alors $m^2 \geq 4$ et ceci est encore absurde.

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