L’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{a}{b}, a\in\Z, b\in\N^{*}\right\}.$
C’est l’ensemble des quotients de deux nombres entiers, dont le dénominateur non nul peut toujours être choisi pour être positif.
Soit $q\in\Q.$ Vous allez démontrer qu’il existe un unique entier $m\in\Z$ et un unique entier $n\in\N^{*}$ vérifiant les deux conditions : $q=\frac{m}{n}$ et $\pgcd(m,n)=1.$
La condition $\pgcd(m,n)=1$ signifie que, si $k$ est un diviseur commun aux nombres $m$ et $n\comma$ alors $k=1\comma$ autrement dit la fraction $\frac{m}{n}$ est irréductible.
Démontrez d’abord l’existence des entiers $m$ et $n$
Soit $q\in\Q.$ Par définition de l’ensemble $\Q\comma$ il existe $u\in\Z$ et $v\in\N^{*}$ tels que $q=\frac{u}{v}.$
L’ensemble $A=\left\{b\in\N^{*}, \exists a\in\Z, q=\frac{a}{b}\right\}$ est une partie non vide de $\N$ puisqu’elle contient $v.$
Notez alors $n = \min A$ le plus petit élément de $A.$
Par définition de $n\comma$ il existe $m\in\Z$ tel que $q = \frac{m}{n}.$
Il s’agit maintenant de voir pourquoi le $\pgcd$ des entiers $m$ et $n$ est égal à $1.$
Supposez que cela ne soit pas le cas, et que $\pgcd(n,m) \geq 2.$
Notez $k\in\N^{*}$ ce nombre. Par définition du $\pgcd$, il existe $n’\in\N^{*}$ et $m’\in \Z$ tels que $n = kn’$ et $m = km’\comma$ avec $n’\lt n$ compte tenu du fait que $k \geq 2.$
Alors $q = \frac{m}{n}=\frac{km’}{kn’} = \frac{m’}{n’}$ donc $n’\in A.$ Or la condition $n’\lt n$ avec $n = \min A$ implique $n’ \notin A\comma$ contradiction.
L’existence des entiers $m$ et $n$ tels que $q=\frac{m}{n}$ et $\pgcd(n,m)=1$ est démontrée.
Démontrez l’unicité des entiers $m$ et $n$
Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{a}{b}= \frac{m}{n}$ et $\pgcd(a,b)=1.$
Alors par produit en croix $an = bm$ donc $n \mid bm.$ Or $\pgcd(n,m)=1$ donc par le théorème de Gauss $n \mid b.$
De même, $b \mid an$ et $\pgcd(a,b)=1$ donc par le théorème de Gauss $b\mid n.$
Il en résulte que $n = b$ et l’égalité $an = bm$ devient $an=nm$ d’où $n(a-m)=0$ et comme $n$ est non nul, $a-m=0$ et $a=m\comma$ d’où l’unicité.
Démontrez que tout représentant s’écrit en utilisant le représentant irréductible
Soit $q\in\Q.$ Il a été vu qu’il existe un unique $n\in\N^{*}\comma$ un unique $m\in\Z$ tels que $q = \frac{m}{n}$ et $\pgcd(n,m)=1.$
Soit maintenant $a\in\Z$ et $b\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{a}{b}.$
Vous allez montrer, sans utiliser le théorème de Gauss, qu’il existe un entier $k\in\N^{*}$ tel que $a = km$ et $b = kn.$
Pour le voir, effectuez la division euclidienne de $b$ par $n.$
Il existe $k\in\N$ et $r\in\N$ tels que $b = kn + r$ avec $r\lt n.$
De $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$ vous tirez $an = bm$ et donc $an-nmk = bm-nmk$ soit $n(a-km)=m(b-kn)$ ce qui s’écrit $n(a-km)=mr.$
Si $r$ était non nul, alors $\frac{a-km}{r} = \frac{m}{n}$ et par suite $r\in A.$ Mais $r\lt n$ combiné avec $n =\min A$ implique $r\notin A\comma$ contradiction.
Donc $r = 0.$ Cela prouve $b = kn.$ Comme $b$ est non nul, $k\in\N^{*}.$
Comme $an=bm\comma$ vous avez $an = kmn$ et comme $n$ est non nul, vous déduisez $a=km$ comme annoncé.
Application : le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel
Supposez que $\sqrt{2}\in\Q.$ Alors il existe $m\in\Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ et $\pgcd(m,n)=1.$
Notez que comme $\sqrt{2}$ est strictement positif, vous avez $m\in\N^{*}.$
En élevant au carré vous obtenez $2 = \frac{m^2}{n^2}$ soit $m^2 = 2n^2.$
Ainsi $n \mid m^2$ soit $n \mid m\times m.$ Or $\pgcd(n,m)=1$ donc $n \mid m$ toujours par le théorème de Gauss.
Comme $n\mid m$ et $n\mid n\comma$ il résulte de la définition du $\pgcd$ que $n\leq \pgcd(n,m)$ et donc $n=1.$ Par suite $m^2 = 2.$
Si $m = 1$ vous déduisez en élevant au carré $m ^2 = 1$ ce qui est absurde.
Donc $m \geq 2$ mais alors $m^2 \geq 4$ et ceci est encore absurde.