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171. Décomposez une fraction rationnelle en éléments simples

Soit $F = \frac{X^2}{X^4+X^2+1}$. Il s’agit de trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F$ dans $\R(X).$

La méthode utilisée est générale, elle utilise dans cet ordre :

  • une décomposition du dénominateur comme produit de polynômes irréductibles ;
  • déterminer les polynômes de Bezout relativement à ces polynômes ;
  • multiplier la relation obtenue par le numérateur ;
  • retrouver les polynômes de Bezout.

On rappelle que lorsque $P$ et $Q$ sont deux polynômes irréductibles, une bonne relation de Bezout est une relation de la forme $AP+BQ$ mais avec $\mathrm{deg}(A) < \mathrm{deg}(Q)$ et $\mathrm{deg}(B) < \mathrm{deg}(P).$

En effet, si on note $N = AP+BQ$, alors la fraction $\frac{N}{PQ}$ sera égale à $\frac{A}{Q}+\frac{B}{P}.$

Dans toute décomposition en éléments simples, le degré du numérateur doit être strictement inférieur au degré du polynôme irréductible se trouvant au dénominateur.

Factorisez le dénominateur

Le polynôme réel $X^4+X^2+1$ est de degré 4, c’est donc le produit de deux polynômes réels de degré 2.

En effet :

$\begin{align*}
X^4+X^2+1 &= X^4+2X^2+1-X^2\\
&= (X^2+1)^2-X^2\\
&=(X^2+X+1)(X^2-X+1).
\end{align*}$

Déterminez les coefficients de Bezout

Vous avez :

$\begin{align*}
X^2+X+1 &= 1(X^2+X+1)+0(X^2-X+1)\\
X^2-X+1 &= 0(X^2+X+1)+1(X^2-X+1)\\
\end{align*}$

Du coup, par soustraction vous obtenez $2X = 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1).$

Reprenez ce que vous avez obtenu :

$\begin{align*}
X^2+X+1 &= 1(X^2+X+1)+0(X^2-X+1) & (L_1)\\
2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_2)\\
\end{align*}$

Multipliez par première ligne par $2.$

$\begin{align*}
2X^2+2X+2 &= (2)(X^2+X+1)+(0)(X^2-X+1) & (L_1)\\
2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_2)\\
\end{align*}$

Effectuez la soustraction $L_1\leftarrow L_1-L_2.$

$\begin{align*}
2X+2 &= (2-X)(X^2+X+1)+(X)(X^2-X+1) & (L_3)\\
2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_4)\\
\end{align*}$

Effectuez la soustraction $L_3-L_4.$

$2 = (1-X)(X^2+X+1)+(X+1)(X^2-X+1).$

$\begin{align*}
1 = \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{2}X \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)(X^2-X+1).
\end{align*}$

Obtenez les coefficients de Bezout pour $X^2$

Multipliez la relation précédente par $X^2$, ce qui vous donne :

$\begin{align*}
X^2&= \left( \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1).
\end{align*}$

Le degré du polynôme $\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3$ dépasse celui de $X^2-X+1.$

Vous effectuez une division euclidienne afin de rabaisser le degré.

$\begin{align*}
\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 – 0(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3\\
\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 + \left(\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^3-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}X \\
\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 + \left(\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X \\
\end{align*}$

Donc $\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 =\frac{1}{2}X + \left(-\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1).$

En substituant vous obtenez successivement :

$\begin{align*}
X^2&= \left( \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\
&=\left( \frac{1}{2}X + \left(-\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\
&=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left(-\frac{1}{2}X \right)(X^2-X+1)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\
&=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left[\left(-\frac{1}{2}X \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)\right](X^2-X+1)\\
&=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left[-\frac{1}{2}X \right](X^2-X+1)\\
\end{align*}$

Concluez

En divisant l’égalité précédente par le produit $(X^2+X+1)(X^2-X+1)$ vous obtenez le résultat final :

$\boxed{\frac{X^2}{X^4+X^2+1}= \frac{-X}{2(X^2+X+1)}+\frac{X}{2(X^2-X+1)}.}$

Note. Le lecteur consciencieux aurait remarqué qu’il pourrait arriver beaucoup plus vite à ce résultat, dans cet exemple précis.

En effet :

$2X = (X^2+X+1)-(X^2-X+1)$ donc en divisant :

$\frac{2X}{X^4+X^2+1} = \frac{1}{X^2-X+1}-\frac{1}{X^2+X+1}$ puis après multiplication par $X$ :

$\frac{2X^2}{X^4+X^2+1} = \frac{-X}{X^2+X+1}+\frac{X}{X^2-X+1}$ ce qui donne le résultat après division par $2$.

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