171. Décomposez une fraction rationnelle en éléments simples

Soit $F = \frac{X^2}{X^4+X^2+1}.$ Il s’agit de trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F$ dans $\R(X).$

La méthode utilisée est générale, elle utilise dans cet ordre :

une décomposition du dénominateur comme produit de polynômes irréductibles ;
la détermination de polynômes de Bézout relativement à ces polynômes ;
la multiplication de la relation obtenue par le numérateur ;
la réduction du degré de ces polynômes par division euclidienne.

Pour rappel, lorsque $P$ et $Q$ sont deux polynômes irréductibles, une bonne relation de Bézout est une relation de la forme $AP+BQ$ mais avec $\mathrm{deg}(A) \lt \mathrm{deg}(Q)$ et $\mathrm{deg}(B) \lt \mathrm{deg}(P).$

En effet, en notant $N = AP+BQ\comma$ la fraction $\frac{N}{PQ}$ sera égale à $\frac{A}{Q}+\frac{B}{P}.$

Dans toute décomposition en éléments simples, le degré du numérateur doit être strictement inférieur au degré du polynôme irréductible se trouvant au dénominateur.

Factorisez le dénominateur

Le polynôme réel $X^4+X^2+1$ est de degré 4, c’est donc le produit de deux polynômes réels de degré 2.

En effet :

\begin{align*} X^4+X^2+1 &= X^4+2X^2+1-X^2\\ &= (X^2+1)^2-X^2\\ &=(X^2+X+1)(X^2-X+1). \end{align*}

Déterminez les coefficients de Bézout

Vous avez :

\begin{align*} X^2+X+1 &= 1(X^2+X+1)+0(X^2-X+1)\\ X^2-X+1 &= 0(X^2+X+1)+1(X^2-X+1) \end{align*}

Du coup, par soustraction vous obtenez $2X = 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1).$

Reprenez ce que vous avez obtenu :

\begin{align*} X^2+X+1 &= 1(X^2+X+1)+0(X^2-X+1) & (L_1)\\ 2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_2) \end{align*}

Multipliez la première ligne par $2.$

\begin{align*} 2X^2+2X+2 &= (2)(X^2+X+1)+(0)(X^2-X+1) & (L_1)\\ 2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_2) \end{align*}

Effectuez l’opération $L_1\leftarrow L_1-XL_2.$

\begin{align*} 2X+2 &= (2-X)(X^2+X+1)+(X)(X^2-X+1) & (L_3)\\ 2X &= 1(X^2+X+1)+(-1)(X^2-X+1) & (L_4) \end{align*}

Effectuez la soustraction $L_3-L_4.$

2 = (1-X)(X^2+X+1)+(X+1)(X^2-X+1).

\begin{align*} 1 = \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{2}X \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\right)(X^2-X+1). \end{align*}

Obtenez les coefficients de Bézout pour $X^2$

Multipliez la relation précédente par $X^2\comma$ ce qui vous donne :

\begin{align*} X^2&= \left( \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1). \end{align*}

Le degré du polynôme $\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3$ dépasse celui de $X^2-X+1.$

Vous effectuez une division euclidienne afin de rabaisser le degré.

\begin{align*} \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 – 0(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3\\ \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 + \left(\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^3-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}X \\ \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 + \left(\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) &= \frac{1}{2}X \end{align*}

Donc $\frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 =\frac{1}{2}X + \left(-\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1).$

En substituant vous obtenez successivement :

\begin{align*} X^2&= \left( \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2}X^3 \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\ &=\left( \frac{1}{2}X + \left(-\frac{1}{2}X\right)(X^2-X+1) \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\ &=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left(-\frac{1}{2}X \right)(X^2-X+1)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)(X^2-X+1)\\ &=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left[\left(-\frac{1}{2}X \right)(X^2+X+1)+\left(\frac{1}{2}X^3+\frac{1}{2}X^2\right)\right](X^2-X+1)\\ &=\left( \frac{1}{2}X\right)(X^2+X+1) + \left[-\frac{1}{2}X \right](X^2-X+1) \end{align*}

Concluez

En divisant l’égalité précédente par le produit $(X^2+X+1)(X^2-X+1)$ vous obtenez le résultat final :

\boxed{\frac{X^2}{X^4+X^2+1}= \frac{-X}{2(X^2+X+1)}+\frac{X}{2(X^2-X+1)}.}

Note. Vous aurez peut-être remarqué qu’il est possible d’arriver beaucoup plus vite à ce résultat, dans cet exemple précis.

En effet :

Vous avez $2X = (X^2+X+1)-(X^2-X+1)$ donc, en divisant, il vient :

L’égalité $\frac{2X}{X^4+X^2+1} = \frac{1}{X^2-X+1}-\frac{1}{X^2+X+1}$ donne, après multiplication par $X\comma$ la suivante.

Vous obtenez $\frac{2X^2}{X^4+X^2+1} = \frac{-X}{X^2+X+1}+\frac{X}{X^2-X+1}\comma$ ce qui donne le résultat après division par $2.$