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172. Décomposez une fraction rationnelle réelle en éléments simples

17/07/2020 - 0069

Soit $F$ la fraction rationnelle définie par $F = \frac{1}{(X-1)^2(X^2+1)}.$

Séparez les parties polaires

Vous posez $P = (X-1)^2 = X^2-2X+1$ et $Q = X^2+1.$

Vous pouvez diminuer le degré en remarquant d’abord que $Q-P = 2X.$

Pour continuer d’abaisser le degré, vous pouvez vous baser sur l’algorithme de la division euclidienne. Vous partez de $Q$, de degré $2$ et utilisez $Q-P$ qui est de degré $1$ pour former un polynôme constant.

Partez de $2Q = 2X^2+2.$

Comme $X(Q-P)=2X^2$, par soustraction, vous déduisez $2Q-X(Q-P) = 2$, soit $XP+(2-X)Q = 2.$

Divisez le tout par le produit $PQ$, vous obtenez :

$\frac{2}{PQ} = \frac{2-X}{P}+\frac{X}{Q}.$

Les parties polaires sont maintenant séparées :

$\boxed{\frac{2}{(X-1)^2(X^2+1)} = \frac{2-X}{(X-1)^2}+\frac{X}{X^2+1}.}$

Décomposez toutes les parties polaires

La partie $\frac{X}{X^2+1}$ est constituée d’un polynôme de degré $1$, divisé par un polynôme de degré $2$ comportant un discriminant strictement négatif : c’est un terme de seconde espèce, il n’y a rien à décomposer.

La partie $\frac{2-X}{(X-1)^2}$ est constituée d’un dénominateur formé par un polynôme de degré $1$ mis au carré, alors que le numérateur est de degré $1.$ Ce n’est donc ni pas un terme de première espèce.

Pour le convertir, vous allez utiliser la division euclidienne de $2-X$ par $X-1.$

De $2-X = -(X-1)+1$, vous déduisez en divisant par $(X-1)^2$ que $\frac{2-X}{(X-1)^2} =\frac{-1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}.$

Concluez

Les éléments précédents étant mis bout à bout, vous déduisez successivement que :

$\frac{2}{(X-1)^2(X^2+1)} =\frac{-1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2} +\frac{X}{X^2+1}$

$\boxed{\frac{1}{(X-1)^2(X^2+1)} =\frac{-1}{2(X-1)}+\frac{1}{2(X-1)^2} +\frac{X}{2(X^2+1)}.}$

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