Soit $(a,b,c,d)\in\R^4$ un quadruplet de nombres réels. Considérez l’équation suivante du quatrième degré, $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ d’inconnue $x\in\R.$

Elle se résout en se ramenant à la résolution de deux polynômes de degré $2.$

En effet, vous allez prouver dans cette section qu’il existe $(p,q,r,s)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.$

Ce contenu se situe dans le prolongement de la méthode de Ferrari, décrite dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 169.

Prouvez l’existence

Pour tout réel $x\comma$ notez $P(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d.$

Premier cas : si $P$ admet une racine réelle

Il existe un nombre $u\in\R$ tel que $P(u)=0.$

Par suite $u^4+au^3+bu^2+cu+d=0.$

Du coup, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

Pour tout réel $x\comma$ notez $Q(x) = x^3+x^2u+xu^2+u^3 + a(x^2+ux+u^2)+ b(x+u)+c.$

La fonction $Q$ est une fonction réelle polynomiale de degré 3, continue sur $\R\comma$ de sorte que $\lim_{x\to +\infty} Q(x) = +\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} Q(x) = -\infty.$ Par application du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $v$ tel que $Q(v) = 0.$

Vous déduisez en utilisant un calcul similaire à celui effectué ci-dessus qu’il existe deux réels $k$ et $\ell$ tels que, pour tout réel $x\comma$ $Q(x) = (x-v)(x^2+kx+\ell).$

L’ensemble étant mis bout à bout, vous déduisez que $\forall x\in\R, P(x) = (x-u)(x-v)(x^2+k x+\ell).$

Notez $k’ = -u-v$ et $\ell’ = uv\comma$ vous obtenez que $\forall x\in\R, P(x) = (x^2+kx+\ell)(x^2+k’x+\ell’).$

Second cas : si $P$ n’admet aucune racine réelle

Dans ce cas vous invoquez le théorème de d’Alembert-Gauss, qui affirme l’existence d’un nombre complexe $u\comma$ non réel, tel que $P(u)=0.$

Vous déduisez l’existence d’un polynôme $Q\comma$ à coefficients complexes, unitaire et de degré 3, tel que $\forall z\in\C, P(z)=(z-u)Q(z).$

L’écriture $P(u)=0$ fournit $u^4+au^3+bu^2+cu+d=0.$ Comme $(a,b,c,d)\in\R^4\comma$ en conjuguant, vous obtenez la relation suivante $\overline{u}^4+a\overline{u}^3+b\overline{u}^2+c\overline{u}+d = 0.$ Autrement dit, $P(\overline{u})=0.$

Donc $(\overline{u}-u)Q(\overline{u})=0.$ Comme $u$ n’est pas réel, $u\neq \overline{u}$ donc $Q(\overline{u})=0.$

Vous déduisez donc l’existence d’un polynôme complexe $R$ unitaire et de degré 2 tel que $\forall z\in\C, Q(z) = (z-\overline{u})R(z)\comma$ avec existence de $k’\in\C$ et de $\ell’\in\C$ tels que $\forall z\in\C, R(z)=z^2+k’z+\ell’.$

Ainsi vous avez obtenu que $\forall z\in\C, P(z)=(z-u)(z-\overline{u})R(z).$

Posez $k = -u-\overline{u}$ et $\ell = u\overline{u}.$ Les nombres $k$ et $\ell$ sont des réels et vérifient $\forall z\in\C, P(z) = (z^2+kz+\ell)R(z).$

Il s’agit maintenant de comprendre pourquoi le polynôme $R$ est en réalité à coefficients réels.

Notez que $\forall x\in\R, P(x) = (x^2+kx+\ell)R(x).$

Or, $\forall x\in\R, x^2+kx+\ell = (x-u)(x-\overline{u}).$ Par suite, $x^2+kx+\ell$ ne peut être nul si $x$ est réel, sinon $x\in\{u, \overline{u}\}$ ce qui serait absurde. Donc $\forall x\in\R, x^2+kx+\ell \neq 0$ ce qui permet d’écrire que $\forall x\in\R, R(x)=\frac{P(x)}{x^2+kx+\ell}.$

En particulier, vous déduisez que $\forall x\in\R, R(x)\in\R.$

Donc $\forall x\in\R, x^2+k’x+\ell’\in\R.$

Choisissez $x=0\comma$ vous obtenez $\ell’\in \R.$

Choisissez maintenant $x=1\comma$ vous obtenez $1+k’+\ell’ \in \R.$ Comme $k’ = (1+k’+\ell’)-1-\ell’$ et que $1\in\R\comma$ $\ell’\in\R$ et $1+k’+\ell’\in\R\comma$ vous déduisez $k’\in\R.$

Concluez sur l’existence

De ce qui précède vous avez obtenu l’existence d’un quadruplet de réels $(k,k’,\ell,\ell’)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, P(x)=(x^2+kx+\ell)(x^2+k’x+\ell’).$

Notez alors $p = \frac{k+k’}{2}\comma$ $q=\frac{\ell+\ell’}{2}\comma$ $r=\frac{k-k’}{2}$ et $s=\frac{\ell-\ell’}{2}.$

Vous avez $(p,q,r,s)\in\R^4$ et les égalités $p+r = k\comma$ $p-r = k’\comma$ $q+s = \ell$ et $q-s=\ell’.$

Du coup, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

Cela conclut sur l’existence annoncée.

Déterminez les valeurs des réels $p\comma$ $q\comma$ $r$ et $s$

Soit $(a,b,c,d)\in\R^4.$

D’après la section précédente, il existe $(p,q,r,s)\in\R^4$ tel que $\forall x\in\R, x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2+px+q)^2-(rx+s)^2.$

Développez. Pour tout réel $x\comma$ vous obtenez :

Par identification des coefficients, les relations suivantes sont obtenues :

Pas le choix pour le réel $p\comma$ vous avez nécessairement $p=\frac{a}{2}.$

Comme $4p^2 = a^2\comma$ vous multipliez la relation $p^2+2q-r^2 = b$ par $4\comma$ pour obtenir $4p^2+8q-4r^2 = 4b\comma$ soit $a^2+8q-4r^2 = 4b$ ce qui fournit $8q = 4b+4r^2-a^2.$

Notez que si $r$ est connu, le réel $q$ est parfaitement connu, il est égal à $q=\frac{4b+4r^2-a^2}{8}.$

Prenez maintenant la relation $2pq-2rs =c\comma$ vous remplacez $2p$ par $a\comma$ ce qui fournit $aq-2rs = c.$ Voulant faire apparaître $8q\comma$ vous multipliez par $8$ et obtenez $8aq-16rs = 8c.$ Remplacez $8q$ par $4b+4r^2-a^2\comma$ vous obtenez $a(4b+4r^2-a^2)-16rs = 8c$ ce qui fournit $16rs =a(4b+4r^2-a^2)-8c.$

Il reste à justifier que le réel $r$ ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.

Partez de la relation $q^2-s^2 =d\comma$ que vous multipliez par $64\comma$ ce qui donne $64q^2-64s^2 = 64d.$ Comme $8q = 4b+4r^2-a^2$ vous déduisez $64q^2 = (4b+4r^2-a^2)^2$ donc $(4b+4r^2-a^2)^2-64s^2 = 64d.$ Vous multipliez ensuite le tout par $r^2\comma$ d’où $r^2(4b+4r^2-a^2)^2-64r^2s^2 = 64dr^2.$

Multipliez cette relation par $4\comma$ vous obtenez $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2-256r^2s^2 = 256dr^2.$

Or $16rs =a(4b+4r^2-a^2)-8c$ donc $256r^2s^2 = (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2.$

Ainsi vous déduisez $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 = 256dr^2$ soit $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 – 256dr^2 = 0.$

Ainsi, $r^2$ est solution d’une équation polynomiale du troisième degré, qui ne peut avoir que trois solutions au maximum, soit au maximum six candidats pour $r.$

Notez que $s^2=q^2-d$ donc $s^2 = \frac{(4b+4r^2-a^2)^2}{64} – d\comma$ ce qui laisse deux candidats potentiels pour $s.$

Concluez

L’étude effectuée montre que, pour tout $(a,b,c,d)\in\R^4\comma$ le système d’inconnues réelles $p\comma$ $q\comma$ $r$ et $s$ ci-dessous admet au moins une solution.

Pour déterminer une solution qui convient, vous devez choisir $\boxed{p=\frac{a}{2}}\comma$ puis $r$ tel que $4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 = 256dr^2$ soit $\boxed{4r^2(4b+4r^2-a^2)^2- (a(4b+4r^2-a^2)-8c)^2 – 256dr^2 = 0}.$ Ensuite, vous obtenez $\boxed{q = \frac{4b+4r^2-a^2}{8}}.$

Notez que si $r\neq 0\comma$ la valeur de $s$ est entièrement déterminée puisqu’alors $s=\frac{2pq-c}{2r}.$

Si $r=0\comma$ alors $q = \frac{4b-a^2}{8}$ et par conséquent $s^2 = q^2-d\comma$ ce qui force la positivité de $q^2-d$ et donc $s = \pm \sqrt{\left(\frac{4b-a^2}{8}\right)^2-d}.$

Une fois trouvées les valeurs de $p\comma$ $q\comma$ $r$ et $s$ qui donnent une solution du système, vous résolvez l’équation générale de degré quatre, puisque, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

Il vous suffit alors de résoudre respectivement les équations $x^2+(p+r)x+q+s = 0$ et $x^2+(p-r)x+q-s=0$ pour conclure.