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173. Décomposez une fraction rationnelle réelle en éléments simples

Soit à décomposer dans $\R(X)$ la fraction rationnelle suivante : $F = \frac{X^5}{(X^2-1)(X^2+X+1)^2}.$

Comme vous l’avez déjà effectué dans l'article 172 et dans l'article 171, vous allez séparer les parties polaires.

L’objectif de cet article est de montrer l’existence de la décomposition. Vous verrez que les calculs seront techniques. Cela ne doit pas vous rebuter, c’est au contraire un excellent exercice pour développer vos compétences et votre concentration. En effet, mener à bien de tels calculs sans commettre d’erreur est un exercice qui nécessite patience.

Il s’agit de décomposer le dénominateur en produit de polynômes irréductibles de $\R[X].$ Le polynôme $X^2-1$ n’est pas irréductible puisqu’il s’annule quand $X=1$ par exemple. Il se factorise ainsi $X^2-1 = (X-1)(X+1)$ si bien que le dénominateur est égal à $(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2.$

Séparez les parties polaires

Séparation de la première partie du reste

Le premier objectif est de trouver deux polynômes $U$ et $V$ tels que $X^5 = U(X-1)+V(X+1)(X^2+X+1)^2$ en respectant les conditions de degré $\mathrm{deg}(U) < 5$ et $\mathrm{deg}(V)<1.$

Ces conditions sont posées pour traiter des fractions rationnelles sans partie entière.

En effet, la fraction $\frac{X^5}{(X^2-1)(X^2+X+1)^2}$ de départ n’en a pas puisque le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. De même, en divisant la relation $X^5 = U(X-1)+V(X+1)(X^2+X+1)^2$ par le produit $(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2$ vous obtiendrez $\frac{X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{U}{(X+1)(X^2+X+1)^2}+ \frac{V}{X-1}$ et chaque partie polaire n’a aucune partie entière.

Construire les polynômes $U$ et $V$ de façon constructive est chose délicate.

Vous allez d’abord construire deux polynômes $A$ et $B$ vérifiant $1 = A(X-1)+B(X+1)(X^2+X+1)^2$ mais sans tenir compte de la contrainte du degré dans un premier temps.

L’algorithme d’Euclide étendu est la clé pour y parvenir.

Développez d’abord :

$\begin{align*}
(X+1)(X^2+X+1)^2 &= (X+1)(X^4+X^2+1+2X^3+2X^2+2X)\\
&= (X+1)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)\\
&= X^5+2X^4+3X^3+2X^2+X\\
&\quad+X^4+2X^3+3X^2+2X+1\\
&= X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1.
\end{align*}$

Puis appliquez l’algorithme.

$\begin{align*}
X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1 &= 0(X-1)+1(X+1)(X^2+X+1)^2 &(L_1)\\
X-1 &= 1(X-1)+0(X+1)(X^2+X+1)^2 &(L_2)
\end{align*}$

La division euclidienne de $X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1$ par $X-1$ s’obtient successivement :

$\begin{align*}
X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1 &= (X-1)(X^4)+X^4+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1\\
&= (X-1)(X^4)+4X^4+5X^3+5X^2+3X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3)+4X^3+5X^3+5X^2+3X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3)+9X^3+5X^2+3X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2)+9X^2+5X^2+3X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2)+14X^2+3X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X)+14X+3X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X)+17X+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X+17)+17+1\\
&= (X-1)(X^4+4X^3+9X^2+14X+17)+18.\\
\end{align*}$

Effectuez maintenant l’opération $L_1-(X^4+4X^3+9X^2+14X+17)L_2$ :

$18 = (-X^4-4X^3-9X^2-14X-17)(X-1)+1(X+1)(X^2+X+1)^2.$

En multipliant par $X^5$, vous obtenez la relation :

$18X^5 = (-X^9-4X^8-9X^7-14X^6-17X^5)(X-1)+X^5(X+1)(X^2+X+1)^2.$

Les degrés ne vont plus, puisque $\mathrm{deg}(X^5) \geq \mathrm{deg}(X-1).$

Pour éviter ce problème, vous effectuez à nouveau une division euclidienne, celle de $X^5$ par $X-1.$

$\begin{align*}
X^5 &= (X^4)(X-1)+X^4\\
&= (X^4+X^3)(X-1)+X^3\\
&= (X^4+X^3+X^2)(X-1)+X^2\\
&= (X^4+X^3+X^2+X)(X-1)+X\\
&= (X^4+X^3+X^2+X+1)(X-1)+1.\\
\end{align*}$

Cela permet d’écrire que :

$\begin{align*}
18X^5 &= (-X^9-4X^8-9X^7-14X^6-17X^5)(X-1)+\left[ (X^4+X^3+X^2+X+1)(X-1)+1\right](X+1)(X^2+X+1)^2\\
&=\left[-X^9-4X^8-9X^7-14X^6-17X^5 + (X^4+X^3+X^2+X+1)(X+1)(X^2+X+1)^2\right](X-1)+(1)(X+1)(X^2+X+1)^2.
\end{align*}$

Il reste à développer un polynôme :

$\begin{align*}
(X^4+X^3+X^2+X+1)(X+1)(X^2+X+1)^2 &= (X^4+X^3+X^2+X+1)(X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1)\\
&= X^9+3X^8+5X^7+5X^6+3X^5+X^4\\
&\quad +X^8+3X^7+5X^6+5X^5+3X^4+X^3\\
&\quad +X^7+3X^6+5X^5+5X^4+3X^3+X^2\\
&\quad +X^6+3X^5+5X^4+5X^3+3X^2+X\\
&\quad +X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1\\
&=X^9+4X^8+9X^7+14X^6+17X^5+17X^4+14X^3+9X^2+4X+1.
\end{align*}$

Si bien que :

$18X^5 =(17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(X-1)+(1)(X+1)(X^2+X+1)^2.$

Du coup, en divisant, vous obtenez :

$\boxed{\frac{18X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{17X^4+14X^3+9X^2+4X+1}{(X+1)(X^2+X+1)^2}+\frac{1}{X-1}.}$

Séparation de la dernière partie polaire

Vous cherchez d’abord deux polynômes $A$ et $B$ pour que $1 = A(X+1)+B(X^2+X+1)^2.$

Comme $(X^2+X+1)^2 = X^4+2X^3+3X^2+2X+1$, vous effectuez la division euclidienne de ce polynôme par $X+1.$

$\begin{align*}
X^4+2X^3+3X^2+2X+1 &= X^3(X+1) +X^3+3X^2+2X+1\\
&=(X^3+X^2)(X+1) +2X^2+2X+1\\
&=(X^3+X^2+2X)(X+1) +1.
\end{align*}$

Partez des égalités :

$\begin{align*}
X^4+2X^3+3X^2+2X+1 &= 0(X+1) + 1(X^2+X+1)^2 &(L_1)\\
X+1 &= 1(X+1) + 0(X^2+X+1)^2&(L_2)\\
\end{align*}$

vous effectuez $L_1-(X^3+X^2+2X)L_2$ ce qui donne :

$1 = (-X^3-X^2-2X)(X+1)+1(X^2+X+1)^2.$

Les choses délicates commencent. Vous multipliez le tout par $17X^4+14X^3+9X^2+4X+1$ ce qui donne :

$\begin{align*}17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(-X^3-X^2-2X)(X+1)\\
&\quad + (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(X^2+X+1)^2.
\end{align*}$

Vous développez le polynôme $(17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(-X^3-X^2-2X)$ :

$\begin{align*}
(17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(-X^3-X^2-2X) &= -17X^7-14X^6-9X^5-4X^4-X^3\\
&\quad -17X^6-14X^5-9X^4-4X^3-X^2\\
&\quad -34X^5-28X^4-18X^3-8X^2-2X\\
&=-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X.
\end{align*}$

Vous avez donc obtenu :

$\begin{align*}17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X)(X+1)\\
&\quad + (17X^4+14X^3+9X^2+4X+1)(X^2+X+1)^2.
\end{align*}$

Il s’agit d’abaisser le degré trouvé.

Vous divisez donc $17X^4+14X^3+9X^2+4X+1$ par $X+1$ :

$\begin{align*}
17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= 17X^3(X+1)-3X^3+9X^2+4X+1\\
&= (17X^3-3X^2)(X+1)+12X^2+4X+1\\
&= (17X^3-3X^2+12X)(X+1)-8X+1\\
&= (17X^3-3X^2+12X-8)(X+1)+9.
\end{align*}$

Vous en déduisez que :

$\begin{align*}17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X)(X+1)\\
&\quad + \left[(17X^3-3X^2+12X-8)(X+1)+9\right](X^2+X+1)^2\\
&= (-17X^7-31X^6-57X^5-41X^4-23X^3-9X^2-2X +(17X^3-3X^2+12X-8)(X^2+X+1)^2 )(X+1)+9(X^2+X+1)^2.
\end{align*}$

Il reste à développer le polynôme $(17X^3-3X^2+12X-8)(X^2+X+1)^2$ :

$\begin{align*}
(17X^3-3X^2+12X-8)(X^2+X+1)^2 &=(17X^3-3X^2+12X-8)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)\\
&=17X^7-3X^6+12X^5-8X^4\\
&\quad +34X^6-6X^5+24X^4-16X^3\\
&\quad +51X^5-9X^4+36X^3-24X^2\\
&\quad +34X^4-6X^3+24X^2-16X\\
&\quad +17X^3-3X^2+12X-8\\
&=17X^7+31X^6+57X^5+41X^4+31X^3-3X^2-4X-8.
\end{align*}$

Ainsi :

$\begin{align*}
17X^4+14X^3+9X^2+4X+1 &= (-23X^3-9X^2-2X +31X^3-3X^2-4X-8)(X+1)+9(X^2+X+1)^2\\
&= (8X^3-12X^2-6X-8)(X+1)+9(X^2+X+1)^2.
\end{align*}$

Du coup, en divisant, vous obtenez :

$\boxed{\frac{17X^4+14X^3+9X^2+4X+1}{(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2}+\frac{9}{X+1}.}$

Calculez la partie polaire qui correspond au terme de seconde espèce

Le terme $\frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2}$ doit être décomposé.

Pour y parvenir, vous effectuez la division euclidienne de $8X^3-12X^2-6X-8$ par $X^2+X+1$ :

$\begin{align*}
8X^3-12X^2-6X-8 &= 8X(X^2+X+1)-20X^2-14X-8\\
&=(8X-20)(X^2+X+1)+6X+12.\\
\end{align*}$

Divisez le tout par $(X^2+X+1)^2$ et vous obtenez :

$\boxed{\frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2} = \frac{8X-20}{X^2+X+1}+\frac{6X+12}{(X^2+X+1)^2}.}$

Concluez

Quand vous mettez tous les calculs intermédiaires bout à bout, vous obtenez :

$\begin{align*}
\frac{18X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} &= \frac{17X^4+14X^3+9X^2+4X+1}{(X+1)(X^2+X+1)^2}+\frac{1}{X-1}\\
&= \frac{8X^3-12X^2-6X-8}{(X^2+X+1)^2}+\frac{9}{X+1}+\frac{1}{X-1}\\
&= \frac{8X-20}{X^2+X+1}+\frac{6X+12}{(X^2+X+1)^2}+\frac{9}{X+1}+\frac{1}{X-1}.
\end{align*}$

D’où finalement :

$\begin{align*}
\frac{X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} &= \frac{8X-20}{18(X^2+X+1)}+\frac{6X+12}{18(X^2+X+1)^2}\\
&\quad +\frac{9}{18(X+1)}+\frac{1}{18(X-1)}\\
&= \frac{4X-10}{9(X^2+X+1)}+\frac{X+2}{3(X^2+X+1)^2}\\
&\quad +\frac{1}{2(X+1)}+\frac{1}{18(X-1)}.
\end{align*}$

En une seule ligne cela donne :

$\boxed{\frac{X^5}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)^2} = \frac{4X-10}{9(X^2+X+1)}+\frac{X+2}{3(X^2+X+1)^2} +\frac{1}{2(X+1)}+\frac{1}{18(X-1)}.}$

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