École AVOSZ

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180. Visualisez une suite de polynômes qui converge uniformément vers une fonction constante

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Il serait attribué aux frères Chudnovsky la suite de polynômes suivante, à coefficients entiers.

Posez $P_0(X) = X$ et $\forall n\in\N, P_{n+1}(X) = 2P_n(X)(1-P_n(X)).$

Calculez les premiers termes

P_1(X) = 2X(1-X)=-2X^2+2X
P_2(X) =- 8 X^{4} + 16 X^{3} – 12 X^{2} + 4 X
P_3(X) =- 128 X^{8} + 512 X^{7} – 896 X^{6} + 896 X^{5} – 560 X^{4} + 224 X^{3} – 56 X^{2} + 8X.

Vu la grosseur et le degré des premiers polynômes, il ne vous est pas conseillé d’aller plus loin.

Visualisez graphiquement les courbes sur l’intervalle $[0,1]$

En vert vous trouvez la parabole représentant $P_1\comma$ en rouge une courbe qui commence à s’aplatir qui représente $P_2$ et en bleu, plus nettement, vous constatez que $P_3$ devient de plus en plus proche de $1/2.$

Prolongement

Soit $(a,b)\in\R^2$ un couple de réels tel que $0\lt a\lt b\lt1.$ Pourriez-vous démontrer que la suite de polynômes $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément sur l’intervalle $[a,b]$ vers la fonction constante égale à un demi ?

Autrement dit, pourriez-vous prouver que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout entier $n\geq N$ et pour tout $x\in[a,b]\comma$ l’inégalité $\left\lvert P_n(x) – \frac{1}{2}\right\rvert \leq \varepsilon$ soit vérifiée ?