Soit $A$ la matrice, a priori à coefficients complexes, définie par
A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}.Vous allez construire, colonne après colonne, une suite de matrices toutes semblables à $A$, jusqu’à obtenir une matrice de Jordan.
Dans la suite, vous noterez $I$ la matrice identité définie par
I=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.Construisez la première colonne
Vous souhaitez obtenir une matrice semblable à $A$ qui soit de la forme :
\begin{pmatrix}
* & * & * & *\\
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *
\end{pmatrix}.Recherchez une valeur propre de $A$
Sans calculer un déterminant de taille 4 fois 4, vous allez chercher le polynôme minimal du vecteur
V = \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.Vous calculez successivement $AV$, puis $A^2V = A(AV)$ puis $A^3V = A(A^2V)$. Puis vous inscrivez les quatre vecteurs $V$, $AV$, $A^2V$, $A^3V$ en colonne au sein de la matrice ci-dessous.
\begin{pmatrix}
1 & 7 & 48 & 324\\
0 & 1 & 12 & 108\\
0 & -2 & -24 & -216\\
0 & 1 & 12 & 108.
\end{pmatrix}.Vous calculez la matrice échelonnée réduite associée, en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes.
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -36 & -432\\
0 & 1 & 12 & 108\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.Cela prouve que $A^2V = -36V+12AV$ et que $(A^2-12A+36I)V=0.$
Note. Vous constatez a posteriori que vous avez calculé $A^3V$ inutilement, mais vous ne pouviez en être sûr au départ.
D’autre part, aucun polynôme non constant de degré inférieur ou égal à $1$ ne peut être annulateur du vecteur $V$ puisque la famille $(V ,AV)$ est libre.
Le polynôme minimal du vecteur $V$ est donc $X^2-12X+36 = (X-6)^2.$
Supposez un instant que la matrice $A-6I$ soit inversible.
De l’égalité $(A^2-12A+36I)V=0$ vous déduisez $(A-6I)(A-6I)V=0$ puis $(A-6I)^{-1}(A-6I)(A-6I)V=0$ soit $(A-6I)V=0$, puis $(A-6I)^{-1}(A-6I)V = 0$ soit $IV = 0$ et $V=0$, contradiction.
Il est donc établi que la matrice $A-6I$ n’est pas inversible, la matrice $A$ admet $6$ pour valeur propre.
Construisez une colonne entièrement nulle pour $A-6I$
De ce qui précède, la matrice $A-6I$ n’est pas inversible.
Vous allez lui appliquer des opérations élémentaires, uniquement sur ses colonnes, pour que la première colonne de $A-6I$ soit entièrement nulle. Pour éviter d’avoir à tout remultiplier d’un coup, vous allez garder en mémoire les résultats des calculs.
Dans la partie gauche, vous partez de la matrice $A-6I$ sur laquelle seront appliquées les opérations sur les colonnes. Sur la colonne du milieu, ce sera l’identité sur laquelle seront appliquées les opérations élémentaires réciproques sur les lignes. Enfin, sur la colonne de droite, ce sera la matrice identité sur laquelle vous appliquez les opérations élémentaires sur les colonnes. Si on note $E_1$, $E_2$, … les matrices correspondantes à ces opérations, vous allez avoir :
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
A-6I & I & I\\
(A-6I)E_1 & E_1^{-1} & E_1\\
(A-6I)E_1E_2 & E_2^{-1}E_1^{-1}& E_1E_2\\
(A-6I)E_1E_2E_3 & E_3^{-1}E_2^{-1}E_1^{-1}& E_1E_2E_3\\
\vdots & \vdots & \vdots \\
(A-6I)P & P^{-1} & P
\end{array}\end{align*}\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
A-6I = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & -2 & -1 & -1\\
-2 & 1 & -1 & -1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix} &
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}Vous utilisez le coefficient $1$ en haut et à gauche de $A-6I$ pour générer un premier zéro dans la colonne $2$ de la matrice $A-6I$ puis un autre à la colonne $3$ avant de remarquer qu’une colonne entièrement nulle se forme rapidement.
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
A-6I \xrightarrow[C_2\leftarrow C_2-C_1]{} A_1=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 2\\
1 & -3 & -1 & -1\\
-2 & 3 & -1 & -1\\
1 & 0 & 2 & 2
\end{pmatrix} &
I \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1+L_2]{} E_1^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
I \xrightarrow[C_2\leftarrow C_2-C_1]{} E_1 = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
A_1 \xrightarrow[C_3\leftarrow C_3-2C_1]{} A_2=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
1 & -3 & -3 & -1\\
-2 & 3 & 3 & -1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix} &
E_1^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1+2L_3]{} E_2^{-1}E_1^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
E_1 \xrightarrow[C_3\leftarrow C_3-2C_1]{} E_1E_2 \begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
A_2 \xrightarrow[C_3\leftarrow C_3-C_2]{} A_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
1 & -3 & 0 & -1\\
-2 & 3 & 0 & -1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}E_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftarrow L_2+L_3]{} E_3^{-1}E_2^{-1}E_1^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
E_1E_2 \xrightarrow[C_3\leftarrow C_3-C_2]{} E_1E_2E_3 \begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
A_3 \xrightarrow[C_1\leftrightarrow C_3]{} A_4=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & -3 & 1 & -1\\
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} &
E_3^{-1}E_2^{-1}E_1^{-1} \xrightarrow[L_1\leftrightarrow L_3]{} E_4^{-1}\cdots E_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
E_1E_2E_3 \xrightarrow[C_1\leftrightarrow C_3]{} E_1\cdots E_4 \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}Comme sa première colonne est entièrement nulle, en lui appliquant la matrice $E_4^{-1}\cdots E_1^{-1}$ vous obtiendrez encore une première colonne nulle.
Notez
\begin{align*}P_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.\end{align*}D’après ce qui précède, $P_1$ est inversible :
\begin{align*}
P_1^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}Il vient :
\begin{align*}P_1^{-1}(A-6I) P_1= P_1^{-1}A_4=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & -3 & 1 & -1\\
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & -1 & -2\\
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.\end{align*}Du coup :
\begin{align*}\boxed{P_1^{-1}AP_1 = \begin{pmatrix}
6 & 3 & -2 & -1\\
0 & 6 & -1 & -2\\
0 & 3 & 4 & -1\\
0 & 0 & 1 & 8
\end{pmatrix}.}\end{align*}Prolongement
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