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182. Construisez la forme de Jordan d’une matrice avec des opérations élémentaires (2/4)

26082019 - 0004

Il a été vu dans l'article 181 que la matrice $A$ définie par :

$A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}$

est semblable à la matrice $B$ suivante :

$B=\begin{pmatrix}
6 & 3 & -2 & -1\\
0 & 6 & -1 & -2\\
0 & 3 & 4 & -1\\
0 & 0 & 1 & 8
\end{pmatrix}$

via la matrice de passage :

$P_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

dont vous avez aussi calculé l’inverse :

$P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$

Il a été établi que $P_1^{-1}AP_1 = B = \begin{pmatrix}
6 & 3 & -2 & -1\\
0 & 6 & -1 & -2\\
0 & 3 & 4 & -1\\
0 & 0 & 1 & 8
\end{pmatrix}.$

Construisez la deuxième colonne

Le but de cette section est de trouver une matrice de Jordan $J$ d’ordre $2$, telle que $B$ soit semblable à la matrice $\begin{pmatrix} J & * \\
0 & * \end{pmatrix}.$

Pour y parvenir vous effectuez des opérations élémentaires uniquement sur les colonnes $2$, $3$ et $4$ de la matrice $B-6I$ et cherchez à obtenir une matrice ayant cette forme $\begin{pmatrix} * & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & * & *\end{pmatrix}.$

Vous partez de :

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B-6I = \begin{pmatrix}
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & -1 & -2\\
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} &
P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B-6I \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_3]{} B_1=\begin{pmatrix}
0 & -2 & 3 & -1\\
0 & -1 & 0 & -2\\
0 &-2 & 3 & -1\\
0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix} &
P_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_3]{} E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1 \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_3]{} P_1E_1 = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & 0\\
-1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B_1 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-2C_2]{} B_2=\begin{pmatrix}
0 & -2 & 3 & 3\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 &-2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_1^{-1}P_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftarrow L_2+2L_4]{} E_2^{-1}E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1E_1 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-2C_2]{} P_1E_1E_2 = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & -2\\
-1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B_2 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-C_3]{} B_3=\begin{pmatrix}
0 & -2 & 3 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 &-2 & 3 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}E_1^{-1}P_1^{-1} \xrightarrow[L_3\leftarrow L_3+L_4]{} E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1E_1E_2 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-C_3]{} P_1E_1\cdots E_3 = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & -1\\
-1 & 0 & 1 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B_3 \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_4]{} B_4=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 &0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_4]{} E_4^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix} &
P_1E_1\cdots E_3 \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_4]{} P_1E_1\cdots E_4 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Ces calculs montrent que $P_1^{-1}(A-6I)P_1E_1\cdots E_4 = B_4.$

Pour obtenir $E_4^{-1}\cdots E_1^{-1} P_1^{-1}(A-6I)P_1E_1\cdots E_4 $ vous allez appliquer les opérations élémentaires sur les lignes suivantes à partir de la matrice $B_4$.

$\begin{align*}B_4 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 &0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_3]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 &0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_2\leftarrow L_2+2L_4]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 &0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_3\leftarrow L_3+L_4]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 &0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_4]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 3 & 0
\end{pmatrix}. \end{align*}$

Concluez

Notez $P_2 = P_1E_1\cdots E_4 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$

Alors $P_2$ est inversible et

$\begin{align*}P_2^{-1} = E_4^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}.\end{align*}$

Il est établi que $P_2^{-1}(A-6I)P_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 3 & 0
\end{pmatrix}.$

Vous en déduisez que $\boxed{P_2^{-1}AP_2 = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 3 & -2\\
0 & 6 & 0 & 1\\
0 & 0 & 6 & 0\\
0 &0 & 3 & 6
\end{pmatrix}.}$

Cela correspond bien à la forme recherchée. En effet, si $J = \begin{pmatrix}6 & 0\\ 0& 6\end{pmatrix}$, la matrice $J$ est bien une matrice de Jordan et $A$ est semblable à $\begin{pmatrix}J & 0\\ 0& *\end{pmatrix}.$

Note. En toute généralité, vous auriez pu obtenir une matrice semblable à $\begin{pmatrix}
6 & u & * & *\\
0 & 6 & * & *\\
0 & 0 & * & *\\
0 &0 & * & *
\end{pmatrix}$ où $u$ est un coefficient non nul. Il aurait été alors possible d’appliquer la matrice de dilatation suite à droite $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1/u & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 &0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ puis que sa matrice inverse à gauche $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & u & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 &0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ pour obtenir $\begin{pmatrix}
6 & 1 & * & *\\
0 & 6 & * & *\\
0 & 0 & * & *\\
0 &0 & * & *
\end{pmatrix}$ ce qui correspond bien à la forme $\begin{pmatrix}J & 0\\ 0& *\end{pmatrix}$ recherchée.

Prolongement

Vous souhaitez voir comment vous allez construire la troisième colonne ? Lancez-vous dans l'article 183.

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