Il a été vu dans un autre article que la matrice $A$ définie par :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 181.
A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}
est semblable à la matrice $B$ suivante :
B=\begin{pmatrix}
6 & 3 & -2 & -1\\
0 & 6 & -1 & -2\\
0 & 3 & 4 & -1\\
0 & 0 & 1 & 8
\end{pmatrix}
via la matrice de passage :
P_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
dont vous avez aussi calculé l’inverse :
P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
Il a été établi que :
P_1^{-1}AP_1 = B = \begin{pmatrix}
6 & 3 & -2 & -1\\
0 & 6 & -1 & -2\\
0 & 3 & 4 & -1\\
0 & 0 & 1 & 8
\end{pmatrix}.
Construisez la deuxième colonne
Le but de cette section est de trouver une matrice de Jordan $J$ d’ordre $2\comma$ telle que $B$ soit semblable à la matrice suivante :
\begin{pmatrix} J & * \\
0 & * \end{pmatrix}.
Pour y parvenir vous effectuez des opérations élémentaires uniquement sur les colonnes $2\comma$ $3$ et $4$ de la matrice $B-6I$ et cherchez à obtenir une matrice ayant la forme suivante :
\begin{pmatrix} * & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & * & *\end{pmatrix}.
Vous partez de :
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B-6I = \begin{pmatrix}
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & -1 & -2\\
0 & 3 & -2 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} &
P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B-6I \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_3]{} B_1=\begin{pmatrix}
0 & -2 & 3 & -1\\
0 & -1 & 0 & -2\\
0 &-2 & 3 & -1\\
0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix} &
P_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_3]{} E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1 \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_3]{} P_1E_1 = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & 0\\
-1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B_1 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-2C_2]{} B_2=\begin{pmatrix}
0 & -2 & 3 & 3\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 &-2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_1^{-1}P_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftarrow L_2+2L_4]{} E_2^{-1}E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1E_1 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-2C_2]{} P_1E_1E_2 = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & -2\\
-1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B_2 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-C_3]{} B_3=\begin{pmatrix}
0 & -2 & 3 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 &-2 & 3 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}E_1^{-1}P_1^{-1} \xrightarrow[L_3\leftarrow L_3+L_4]{} E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
P_1E_1E_2 \xrightarrow[C_4\leftarrow C_4-C_3]{} P_1E_1\cdots E_3 = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 & -1\\
-1 & 0 & 1 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
B_3 \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_4]{} B_4=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 &0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_4]{} E_4^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix} &
P_1E_1\cdots E_3 \xrightarrow[C_2\leftrightarrow C_4]{} P_1E_1\cdots E_4 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
Ces calculs montrent que $P_1^{-1}(A-6I)P_1E_1\cdots E_4 = B_4.$
Pour obtenir $E_4^{-1}\cdots E_1^{-1} P_1^{-1}(A-6I)P_1E_1\cdots E_4 $ vous allez appliquer les opérations élémentaires sur les lignes suivantes à partir de la matrice $B_4.$
\begin{align*}B_4 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 &0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_3]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 &0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_2\leftarrow L_2+2L_4]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 &0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_3\leftarrow L_3+L_4]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 &0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_2\leftrightarrow L_4]{} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 3 & 0
\end{pmatrix}. \end{align*}
Concluez
Notez :
P_2 = P_1E_1\cdots E_4 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
Alors $P_2$ est inversible et :
\begin{align*}P_2^{-1} = E_4^{-1}\cdots E_1^{-1}P_1^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}.\end{align*}
Il est établi que :
P_2^{-1}(A-6I)P_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 3 & 0
\end{pmatrix}.
Vous en déduisez que :
\boxed{P_2^{-1}AP_2 = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 3 & -2\\
0 & 6 & 0 & 1\\
0 & 0 & 6 & 0\\
0 &0 & 3 & 6
\end{pmatrix}.}
Cela correspond bien à la forme recherchée. En effet, si $J = \begin{pmatrix}6 & 0\\ 0& 6\end{pmatrix}\comma$ la matrice $J$ est bien une matrice de Jordan et $A$ est semblable à $\begin{pmatrix}J & 0\\ 0& *\end{pmatrix}.$
Note. En toute généralité, vous auriez pu obtenir une matrice semblable à
\begin{pmatrix}
6 & u & * & *\\
0 & 6 & * & *\\
0 & 0 & * & *\\
0 &0 & * & *
\end{pmatrix}
où $u$ est un coefficient non nul. Il aurait été alors possible d’appliquer à droite la matrice de dilatation suivante
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1/u & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 &0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
puis sa matrice inverse à gauche
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & u & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 &0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
pour obtenir
\begin{pmatrix}
6 & 1 & * & *\\
0 & 6 & * & *\\
0 & 0 & * & *\\
0 &0 & * & *
\end{pmatrix}
ce qui correspond bien à la forme recherchée :
\begin{pmatrix}J & 0\\ 0& *\end{pmatrix}.
Prolongement
Vous souhaitez voir comment vous allez construire la troisième colonne ? Lancez-vous dans un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 183.
