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183. Construisez la forme de Jordan d’une matrice avec des opérations élémentaires (3/4)

Il a été vu suite aux précisions que vous trouverez dans l'article 182 et dans l'article 181 que la matrice $A$ définie par :

$A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}$

est semblable à la matrice $C$ suivante :

$\begin{pmatrix}
6 & 0 & 3 & -2\\
0 & 6 & 0 & 1\\
0 & 0 & 6 & 0\\
0 &0 & 3 & 6
\end{pmatrix}$

via la matrice de passage $P_2 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$

Le calcul de la matrice $P_2^{-1}$ a été effectué en parallèle et il a été obtenu le résultat suivant :

$P_2^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}.$

Autrement dit, $P_2^{-1}AP_2 = C.$

Obtenez une matrice semblable à la matrice $C-6I$

Le but de cette section est de construire une matrice de la forme $\begin{pmatrix}
J & * & *\\
0 & 0 & *\\
0 & 0 & *
\end{pmatrix}$ qui soit semblable à la matrice $C-6I$, où $J$ est une matrice de Jordan d’ordre $2$. Notez que les zéros de la première colonne correspondent à des matrices nulles par blocs de taille $1\times 2.$

Partez de :

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
C-6I = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 3 & 0
\end{pmatrix} &
P_2^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix} &
P_2 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
C-6I \xrightarrow[C_3\leftrightarrow C_4]{} D_1=\begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 0 & 3
\end{pmatrix} &
P_2^{-1} \xrightarrow[L_3\leftrightarrow L_4]{} E_1^{-1}P_2^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_2 \xrightarrow[C_3\leftrightarrow C_4]{} P_2E_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Comme $(C-6I)E_1 = D_1$, vous effectuez :

$\begin{align*} D_1=\begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 0 & 3
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_3\leftrightarrow L_4]{} E_1^{-1}D_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}. \end{align*}$

si bien que si vous posez $P_3 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$, alors $P_3$ est inversible et $P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.$

Comme , $P_2^{-1}AP_2 = C$ vous obtenez $P_2^{-1}(A-6I)P_2 = C-6I$ d’où $E_1^{-1}P_2^{-1}(A-6I)P_2E_1 = E_1^{-1}(C-6I)E_1$ soit $P_3^{-1}(A-6I)P_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$

Construisez une matrice de Jordan d’ordre $3$

D’après l’égalité précédente, posez $D = P_3^{-1}AP_3 = \begin{pmatrix}
6 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}.$

ce qui s’écrit $\begin{pmatrix}M & * \\ 0 & 6\end{pmatrix}$ où $M$ est la matrice d’ordre $3$ égale à $\begin{pmatrix}6 & 0 & -2\\ 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}.$

La matrice $M$ n’étant pas une matrice de Jordan vous allez effectuer des opérations élémentaires pour y remédier et obtenir que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}J’ & *\\
0 & *\end{pmatrix}$ où $J’$ est une matrice de Jordan d’ordre $3.$

Première étape : transformez le coefficient $-2$ en $1$

Partez de :

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
D-6I = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_3 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

puis effectuez une dilatation.

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
D-6I \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-1}{2}L_1 \text{ et } C_1\leftarrow -2C_1]{} F_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_3^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-1}{2}L_1]{} E_2^{-1}P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_3 \xrightarrow[C_1\leftarrow -2C_1]{} P_3E_2 = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 & -1\\
2 & -1 & 0 & 1\\
-2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Seconde étape : la colonne $3$ ne doit posséder qu’un seul coefficient égal à $1$

Vous effectuez alors une transvection.

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_1 \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_2 \text{ et } C_2\leftarrow C_2+C_1]{} F_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}P_3^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_2]{} E_3^{-1}E_2^{-1}P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_3E_2 \xrightarrow[C_2\leftarrow C_2+C_1]{} P_3E_2E_3 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Concluez

D’après ce qui précède, si vous posez $P_4 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ alors $P_4$ est inversible, avec $P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ et $P_4^{-1}AP_4 = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}.$

Prolongement

Vous souhaitez voir comment vous allez construire la dernière colonne ? Lancez-vous dans l'article 184.

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