Il a été vu dans d’autres articles que la matrice $A$ définie par :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 182.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 181.
A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}
est semblable à la matrice $C$ suivante :
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 3 & -2\\
0 & 6 & 0 & 1\\
0 & 0 & 6 & 0\\
0 &0 & 3 & 6
\end{pmatrix}.
via la matrice de passage :
P_2 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
Le calcul de la matrice $P_2^{-1}$ a été effectué en parallèle et il a été obtenu le résultat suivant :
P_2^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}.
Autrement dit, $P_2^{-1}AP_2 = C.$
Obtenez une matrice semblable à la matrice $C-6I$
Le but de cette section est de construire une matrice de la forme :
\begin{pmatrix}
J & * & *\\
0 & 0 & *\\
0 & 0 & *
\end{pmatrix}
qui soit semblable à la matrice $C-6I\comma$ où $J$ est une matrice de Jordan d’ordre $2.$ Notez que les zéros de la première colonne correspondent à des matrices nulles par blocs de taille $1\times 2.$
Partez de :
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
C-6I = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 3 & 0
\end{pmatrix} &
P_2^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix} &
P_2 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
C-6I \xrightarrow[C_3\leftrightarrow C_4]{} D_1=\begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 0 & 3
\end{pmatrix} &
P_2^{-1} \xrightarrow[L_3\leftrightarrow L_4]{} E_1^{-1}P_2^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_2 \xrightarrow[C_3\leftrightarrow C_4]{} P_2E_1 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
Comme $(C-6I)E_1 = D_1\comma$ vous effectuez ce qui suit :
\begin{align*} D_1=\begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 &0 & 0 & 3
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_3\leftrightarrow L_4]{} E_1^{-1}D_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}. \end{align*}
si bien que, si vous posez :
P_3 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
alors $P_3$ est inversible et :
P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
Comme $P_2^{-1}AP_2 = C$ vous obtenez $P_2^{-1}(A-6I)P_2 = C-6I$ d’où $E_1^{-1}P_2^{-1}(A-6I)P_2E_1 = E_1^{-1}(C-6I)E_1$ soit :
P_3^{-1}(A-6I)P_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
Construisez une matrice de Jordan d’ordre $3$
D’après l’égalité précédente, posez :
D = P_3^{-1}AP_3 = \begin{pmatrix}
6 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}.
ce qui s’écrit sous la forme :
\begin{pmatrix}M & * \\ 0 & 6\end{pmatrix}
où $M$ est la matrice d’ordre $3$ égale à :
\begin{pmatrix}6 & 0 & -2\\ 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}.
La matrice $M$ n’étant pas une matrice de Jordan vous allez effectuer des opérations élémentaires pour y remédier et obtenir que $A$ est semblable à une matrice de la forme :
\begin{pmatrix}J' & *\\
0 & *\end{pmatrix}
où $J’$ est une matrice de Jordan d’ordre $3.$
Première étape : transformez le coefficient $-2$ en $1$
Partez de :
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
D-6I = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_3 = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
puis effectuez une dilatation.
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
D-6I \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-1}{2}L_1 \text{ et } C_1\leftarrow -2C_1]{} F_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_3^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-1}{2}L_1]{} E_2^{-1}P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_3 \xrightarrow[C_1\leftarrow -2C_1]{} P_3E_2 = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 & -1\\
2 & -1 & 0 & 1\\
-2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
Seconde étape : la colonne $3$ ne doit posséder qu’un seul coefficient égal à $1$
Vous effectuez alors une transvection.
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_1 \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_2 \text{ et } C_2\leftarrow C_2+C_1]{} F_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}P_3^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_2]{} E_3^{-1}E_2^{-1}P_3^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_3E_2 \xrightarrow[C_2\leftarrow C_2+C_1]{} P_3E_2E_3 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}
Concluez
D’après ce qui précède, si vous posez :
P_4 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
alors $P_4$ est inversible avec :
P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
et :
P_4^{-1}AP_4 = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}.
Prolongement
Vous souhaitez voir comment vous allez construire la dernière colonne ? Lancez-vous dans un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 184.
